Найдите расстояние от точки М до линии АВ. Поясните, как это сделать

Hrabryy_Viking_1117

56

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться формулой для нахождения расстояния между точкой и прямой. Формула звучит так: расстояние от точки \(M\) до прямой \(AB\) равно модулю проекции вектора, соединяющего точку \(M\) с одним из концов линии \(AB\), на единичный вектор, перпендикулярный прямой \(AB\).

Шаг 1: Определим координаты точек \(A\), \(B\) и \(M\). Примем точку \(A\) с координатами \((x_1, y_1)\), точку \(B\) с координатами \((x_2, y_2)\) и точку \(M\) с координатами \((x, y)\).

Шаг 2: Найдем координаты вектора \(\overrightarrow{AB}\), соединяющего точки \(A\) и \(B\). Для этого вычислим разности координат: \(u = x_2 - x_1\) и \(v = y_2 - y_1\).

Шаг 3: Вычислим проекцию вектора \(\overrightarrow{AM}\) на вектор \(\overrightarrow{AB}\). Это можно сделать с помощью следующей формулы: \(d = \frac{{u \cdot (x - x_1) + v \cdot (y - y_1)}}{{\sqrt{u^2 + v^2}}}\).

Шаг 4: Найдем модуль этой проекции, чтобы получить искомое расстояние. Воспользуемся формулой: \(distance = |d|\).

Последовательность шагов, которые мы выполнили, даст нам искомое расстояние от точки \(M\) до прямой \(AB\). Позвольте мне проиллюстрировать это исчислением для конкретных значений.

Пусть точка \(A\) имеет координаты (2, 3), точка \(B\) имеет координаты (6, 8), и точка \(M\) имеет координаты (4, 5).

Шаг 1: Координаты точек:
\(A(2, 3)\), \(B(6, 8)\), \(M(4, 5)\)

Шаг 2: Координаты вектора \(\overrightarrow{AB}\):
\(u = 6 - 2 = 4\), \(v = 8 - 3 = 5\)

Шаг 3: Проекция вектора \(\overrightarrow{AM}\) на вектор \(\overrightarrow{AB}\):
\(d = \frac{{4 \cdot (4 - 2) + 5 \cdot (5 - 3)}}{{\sqrt{4^2 + 5^2}}} = \frac{{4 \cdot 2 + 5 \cdot 2}}{{\sqrt{16 + 25}}} = \frac{{8 + 10}}{{\sqrt{41}}}\)

Шаг 4: Расстояние от точки \(M\) до прямой \(AB\):
\(distance = |d| = \left|\frac{{18}}{{\sqrt{41}}}\right|\)

Итак, расстояние от точки \(M\) до прямой \(AB\) составляет \(\frac{{18}}{{\sqrt{41}}}\), округленное до удобной десятичной или дробной формы, в зависимости от требований задачи.

Помните, что это только пример решения задачи, и в реальных задачах значения координат и формулы могут отличаться. Но шаги, которые я описал, помогут вам находить расстояния от точки до линии в любой подобной задаче.