Найдите решение системы уравнений: {x^2+4x+y^2−4y=2xy+5, {x+y=2. Запишите ответ в следующем формате: строка - значение

Арина_3555

29

Шаг 1: Подставим \(x+y=2\) в первое уравнение для получения уравнения с одной переменной.

\(x^2+4x+y^2-4y=2xy+5\) становится \(x^2+4x+y^2-4y=2x(2-x)+5\).

Шаг 2: Упростим полученное уравнение.

\(x^2+4x+y^2-4y=4x-x^2+5\).

Шаг 3: Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения.

\(x^2+4x+y^2-4y-(4x-x^2+5)=0\).

Шаг 4: Упростим выражение в скобках.

\(x^2+4x+y^2-4y-4x+x^2-5=0\).

Шаг 5: Сократим подобные слагаемые.

\(2x^2-4y+(-4)=0\).

Шаг 6: Упростим выражение.

\(2x^2-4y-4=0\).

Шаг 7: Подставим это уравнение в уравнение \(x+y=2\).

\(2x^2-4(2-x)-4=0\).

Шаг 8: Раскроем скобки.

\(2x^2-8+4x-4=0\).

Шаг 9: Соберем все слагаемые.

\(2x^2+4x-12=0\).

Шаг 10: Решим получившееся квадратное уравнение.

Для этого используем формулу дискриминанта: \(D=b^2-4ac\).

В нашем случае \(a=2\), \(b=4\), \(c=-12\).

\(D=4^2-4(2)(-12)=16+96=112\).

Шаг 11: Проверим значение дискриминанта.

Если \(D>0\), то квадратное уравнение имеет два различных корня.

Если \(D=0\), то квадратное уравнение имеет один корень кратности 2.

Если \(D<0\), то квадратное уравнение не имеет действительных корней.

В нашем случае \(D>0\), следовательно уравнение имеет два различных корня.

Шаг 12: Найдем корни уравнения, используя формулу: \(x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\).

\(x_1=\frac{-4+\sqrt{112}}{2(2)}=\frac{-4+\sqrt{16\cdot7}}{4}=\frac{-4+4\sqrt{7}}{4}=\frac{-1+\sqrt{7}}{1}\).

\(x_2=\frac{-4-\sqrt{112}}{2(2)}=\frac{-4-\sqrt{16\cdot7}}{4}=\frac{-4-4\sqrt{7}}{4}=-1-\frac{\sqrt{7}}{1}\).

Шаг 13: Подставим найденные значения \(x\) в уравнение \(x+y=2\) для нахождения соответствующих значений \(y\).

Для \(x_1=\frac{-1+\sqrt{7}}{1}\):

\(\frac{-1+\sqrt{7}}{1}+y=2\).

\(y=2-\frac{-1+\sqrt{7}}{1}\).

\(y=3+\frac{-1+\sqrt{7}}{1}\).

Для \(x_2=-1-\frac{\sqrt{7}}{1}\):

\(-1-\frac{\sqrt{7}}{1}+y=2\).

\(y=2-(-1)-\frac{\sqrt{7}}{1}\).

\(y=3-\frac{\sqrt{7}}{1}\).

Ответ: У системы уравнений есть два корня.

\(x_1=\frac{-1+\sqrt{7}}{1}\), \(y_1=3+\frac{-1+\sqrt{7}}{1}\).

\(x_2=-1-\frac{\sqrt{7}}{1}\), \(y_2=3-\frac{\sqrt{7}}{1}\).