Найдите решение следующей системы уравнений: ∫2^х+y=32 и ∫ 3^3y-x=27

Lunnyy_Svet_7337

21

Чтобы решить данную систему уравнений, нам необходимо найти значения переменных x и y, удовлетворяющие обоим уравнениям системы.

Начнем с первого уравнения:
\[2^{x+y} = 32\]

Для начала, заметим, что 32 – это 2 в степени 5 (\(2^5 = 32\)). Таким образом, мы можем записать данное уравнение следующим образом:
\[2^{x+y} = 2^5\]

Теперь, когда основания степеней равны (2), мы можем сравнить показатели степени:
\[x + y = 5\]

Теперь перейдем ко второму уравнению:
\[3^{3y-x} = 27\]

Аналогично первому уравнению, мы замечаем, что 27 – это 3 в степени 3 (\(3^3 = 27\)). Таким образом, мы можем записать данное уравнение следующим образом:
\[3^{3y-x} = 3^3\]

Опять же, сравниваем показатели степеней:
\[3y - x = 3\]

Теперь у нас есть система из двух уравнений:
\[
\begin{align*}
x + y &= 5\\
3y - x &= 3
\end{align*}
\]

Давайте решим эту систему уравнений методом сложения/вычитания.
Умножим первое уравнение на 3 и сложим его с вторым уравнением:

\[
\begin{align*}
3(x+y) + (3y-x) &= 3(5) + 3\\
3x + 3y + 3y - x &= 15 + 3\\
2x + 6y &= 18
\end{align*}
\]

Теперь перепишем это уравнение для удобства:

\[2x + 6y = 18\]

Теперь у нас есть система из двух уравнений:
\[
\begin{align*}
2x + 6y &= 18\\
3y - x &= 3
\end{align*}
\]

Для решения этой системы нужно выполнить следующие шаги:
1. Умножьте второе уравнение на 2:
\[
\begin{align*}
2(3y - x) &= 2(3)\\
6y - 2x &= 6
\end{align*}
\]
2. Теперь сложите это новое уравнение с первым уравнением из исходной системы:
\[
\begin{align*}
(2x + 6y) + (6y - 2x) &= 18 + 6\\
2x + 6y + 6y - 2x &= 24\\
12y &= 24
\end{align*}
\]
3. Разделите обе части последнего уравнения на 12:
\[
\begin{align*}
\frac{12y}{12} &= \frac{24}{12}\\
y &= 2
\end{align*}
\]
4. Теперь подставьте найденное значение y в одно из первоначальных уравнений для определения значения x. Выберем первое уравнение:
\[
\begin{align*}
x + y &= 5\\
x + 2 &= 5\\
x &= 5 - 2\\
x &= 3
\end{align*}
\]

Таким образом, решение данной системы уравнений состоит из значения переменных x и y:
\[x = 3, \quad y = 2\]

Итак, решение системы уравнений \(\int 2^{x+y} = 32\) и \(\int 3^{3y-x} = 27\) – это \(x = 3\) и \(y = 2\).