Найдите решение уравнения sin^2(x/4)-cos^2(x/4)=sin(5p/2-x) и определите значения x, которые принадлежат отрезку [5p/2

Таинственный_Акробат

36

Чтобы найти решение данного уравнения, мы будем использовать тригонометрические тождества и свойства. Давайте начнем.

Исходное уравнение:
\(\sin^2\left(\frac{x}{4}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{4}\right) = \sin\left(\frac{5\pi}{2} - x\right)\)

Прежде чем продолжить, воспользуемся тригонометрическими тождествами:
\(\sin^2(\theta) - \cos^2(\theta) = -\cos(2\theta)\)
\(\sin(\theta - \alpha) = \sin(\alpha)\cos(\theta) - \cos(\alpha)\sin(\theta)\)

Теперь заменим части уравнения при использовании этих тождеств.

\(-\cos\left(\frac{x}{2}\right) = \sin\left(\frac{5\pi}{2} - x\right)\)

Теперь можем приступить к решению. Перепишем уравнение:

\(-\cos\left(\frac{x}{2}\right) = \sin\left(\frac{5\pi}{2}\right)\cos(x) - \cos\left(\frac{5\pi}{2}\right)\sin(x)\)

Так как \(\sin\left(\frac{5\pi}{2}\right) = 1\) и \(\cos\left(\frac{5\pi}{2}\right) = 0\), мы можем переделать уравнение:

\(-\cos\left(\frac{x}{2}\right) = \cos(x)\)

Теперь применим еще одно тригонометрическое тождество:
\(\cos(\theta - \alpha) = \cos(\theta)\cos(\alpha) + \sin(\theta)\sin(\alpha)\)

Используем это тождество:
\(\cos\left(\frac{x}{2} - x\right) = \cos(x)\cos\left(\frac{x}{2}\right) + \sin(x)\sin\left(\frac{x}{2}\right)\)

Далее упрощаем:
\(\cos\left(-\frac{x}{2}\right) = \cos(x)\cos\left(\frac{x}{2}\right) + \sin(x)\sin\left(\frac{x}{2}\right)\)

Так как \(\cos\) является четной функцией, а \(\sin\) нечетной, это уравнение можно переписать как:
\(\cos\left(\frac{x}{2}\right) = \cos(x)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \sin(x)\sin\left(\frac{x}{2}\right)\)

Отсюда получаем:
\(\cos(x)\cos\left(\frac{x}{2}\right) = \sin(x)\sin\left(\frac{x}{2}\right)\)

Возможны два случая.

Случай 1: \(\cos\left(\frac{x}{2}\right) \neq 0\)
В этом случае мы можем разделить обе стороны уравнения на \(\cos\left(\frac{x}{2}\right)\):
\(\cos(x) = \tan\left(\frac{x}{2}\right)\)

Найдем решения этого уравнения для \(x\) в диапазоне \([5\pi/2, 7\pi/2]\). Для этого нам понадобится график функций \(\cos(x)\) и \(\tan\left(\frac{x}{2}\right)\). Поиск решений графическим методом является наиболее эффективным способом для данного уравнения. Мы видим, что решением является \(x = 6\pi/2 = 3\pi\).

Случай 2: \(\cos\left(\frac{x}{2}\right) = 0\)
В этом случае получаем:
\(\sin\left(\frac{x}{2}\right) = 0\)

Найдем решения этого уравнения для \(x\) в диапазоне \([5\pi/2, 7\pi/2]\). Очевидно, что это имеет единственное решение \(x = 5\pi/2\).

Таким образом, решениями исходного уравнения являются \(x = 3\pi\) и \(x = 5\pi/2\). Они принадлежат отрезку \([5\pi/2, 7\pi/2]\).