Найдите синус угла ϕ между прямой AM и плоскостью BB1D1D в кубе ABCDA1B1C1 с ребром длиной 1

Черепашка_Ниндзя_7322

59

Для решения данной задачи мы можем воспользоваться свойством скалярного произведения векторов. Если мы найдем проекцию вектора, параллельного прямой AM, на нормаль к плоскости BB1D1D, то синус угла между прямой и плоскостью будет равен отношению этой проекции к модулю вектора, параллельного прямой AM.

Подробное решение:
1. Найдем вектор, параллельный прямой AM. Для этого придется найти координаты точек A и M. Длина ребра куба равна 1, поэтому можно сказать, что координаты точки A равны (0,0,0), а координаты точки M равны (1,1,1).
2. Вычислим вектор AM вычитанием координат точек: AM = M - A = (1-0, 1-0, 1-0) = (1, 1, 1).
3. Теперь нам нужно найти нормаль к плоскости BB1D1D. Для этого используем векторное произведение двух сторон плоскости.
a) Найдем векторы, направленные на стороны плоскости BB1 и B1D1. Заметим, что стороны плоскости куба имеют равную длину 1, поэтому эти векторы можно найти, вычислив разность координат конечной и начальной точек каждой стороны.
- Вектор BB1: B1 - B = (1,0,0) - (0,0,0) = (1,0,0).
- Вектор B1D1: D1 - B1 = (1,1,0)-(1,0,0) = (0,1,0).
b) Найдем векторное произведение этих векторов: BB1D1D = BB1 x B1D1 = (1,0,0) x (0,1,0) = (0,0,1).
4. Теперь у нас есть вектор, параллельный прямой AM (AM) и нормаль к плоскости BB1D1D (BB1D1D). Найдем скалярное произведение этих векторов: |AM|·|BB1D1D|·cos(ϕ).
5. Модуль вектора AM равен |AM| = √(1^2 + 1^2 + 1^2) = √3.
6. Модуль вектора BB1D1D равен |BB1D1D| = √(0^2 + 0^2 + 1^2) = 1.
7. Проекция вектора AM на вектор BB1D1D равна: |AM|·|BB1D1D|·cos(ϕ) = √3·1·cos(ϕ).
8. Так как синус угла между прямой и плоскостью равен проекции вектора на нормаль к плоскости, поделим проекцию на модуль вектора AM: sin(ϕ) = (√3·1·cos(ϕ))/√3 = cos(ϕ).

Таким образом, синус угла ϕ между прямой AM и плоскостью BB1D1D равен cos(ϕ). Однако, чтобы точно определить значение синуса, необходимо знать угол ϕ между данными геометрическими объектами. Если в условии задачи данный угол не указан, мы не можем найти его точное значение.