Найдите соотношение между максимальным и минимальным значениями функции f(x) = 1/3x^3 + x^2 - 3x + 2 на интервале

Ягодка

13

Для начала, найдем производную функции f(x):

\[f"(x) = \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{3}x^3 + x^2 - 3x + 2\right)\]

Чтобы найти максимальное или минимальное значение функции, необходимо найти точки экстремума. Точки экстремума обычно находятся путем приравнивания производной к нулю и решения полученного уравнения.

Рассчитаем производную функции:

\[f"(x) = x^2 + 2x - 3\]

Теперь найдем корни уравнения, приравняв \(f"(x)\) к нулю:

\[x^2 + 2x - 3 = 0\]

Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью квадратного корня, факторизации или формулы дискриминанта.

Решим данное уравнение с помощью формулы дискриминанта:

Дискриминант \(D\) равен:

\[D = (2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)\]
\[D = 4 + 12\]
\[D = 16\]

Так как дискриминант \(D\) положительный, у уравнения есть два действительных корня.

Применяя формулу для нахождения корней уравнения, получим:

\[x = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2}\]
\[x = \frac{-2 + 4}{2}\]
\[x = \frac{2}{2}\]
\[x = 1\]

\[x = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2}\]
\[x = \frac{-2 - 4}{2}\]
\[x = \frac{-6}{2}\]
\[x = -3\]

Таким образом, величины \(x = 1\) и \(x = -3\) являются точками экстремума функции \(f(x)\).

Подставим значения экстремальных точек в исходную функцию \(f(x)\):

\[f(1) = \frac{1}{3}(1)^3 + (1)^2 - 3(1) + 2\]
\[f(1) = \frac{1}{3} + 1 - 3 + 2\]
\[f(1) = \frac{1}{3} - \frac{9}{3} + \frac{6}{3} + \frac{6}{3}\]
\[f(1) = -\frac{2}{3}\]

\[f(-3) = \frac{1}{3}(-3)^3 + (-3)^2 - 3(-3) + 2\]
\[f(-3) = \frac{1}{3} \cdot (-27) + 9 + 9 + 2\]
\[f(-3) = -9 + 20\]
\[f(-3) = 11\]

Таким образом, на интервале значений между точками экстремума, функция \(f(x) = 1/3x^3 + x^2 - 3x + 2\) принимает минимальное значение равное \(-\frac{2}{3}\) в точке \(x = 1\) и максимальное значение равное \(11\) в точке \(x = -3\).

Надеюсь, данное разъяснение помогло вам понять, как найти соотношение между максимальным и минимальным значениями функции на заданном интервале. Если у вас остались какие-либо вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.