Найдите среднее значение числа бросков каждой игральной кости, при которых выпадает ровно m шестерок, при условии

Солнечный_Пирог

64

Для решения данной задачи нам необходимо использовать комбинаторику. Давайте приступим.

Пусть всего было совершено n бросков игральной кости. Чтобы найти среднее значение числа бросков с m выпавшими шестерками, мы должны рассмотреть все возможные комбинации, в которых выпадает ровно m шестерок.

Количество возможных комбинаций задается формулой сочетаний, которая имеет вид:

\[ C(n, m) = \frac{{n!}}{{m! \cdot (n-m)!}} \]

где ! обозначает факториал числа.

Теперь давайте рассмотрим количество способов получить m шестерок при каждом количестве бросков.

Например, для n = 1 (1 бросок) это будет одна комбинация: 6 (6 шестерок).
Для n = 2 (2 броска) существует две комбинации: (6,6) (два шестерки) и (5,6) (одна шестерка).
Для n = 3 (3 броска) существуют три комбинации: (6,6,6) (три шестерки), (5,6,6) (две шестерки) и (5,5,6) (одна шестерка).

Таким образом, для каждого n мы можем вычислить количество комбинаций с m шестерками, умножить его на n и сложить все полученные значения. Затем мы должны разделить эту сумму на общее количество возможных комбинаций, т.е. \(6^n\).

Итак, среднее значение числа бросков k с m выпавшими шестерками может быть найдено по формуле:

\[ k = \frac{{\sum_{n=m}^{\infty} n \cdot C(n, m)}}{{6^n}} \]

где сумма берется от n = m до бесконечности.

Для конкретных значений m и n, мы можем использовать эту формулу для нахождения среднего значения числа бросков. Например, если m = 2 и n = 5:

\[ k = \frac{{5 \cdot C(5, 2) + 6 \cdot C(6, 2) + 7 \cdot C(7, 2) + \ldots}}{{6^5}} \]

Вычислять это вручную может быть сложно, поэтому мы можем использовать программу или калькулятор для вычисления значения k.

Надеюсь, данный подробный ответ поможет вам понять, как найти среднее значение числа бросков каждой игральной кости в данной задаче. Если у вас остались вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их.