Какова производная функции z=x^2-2xy+3y-1 в точке (1;2) вдоль направления l (-1

Космический_Астроном

34

Хорошо, давайте решим данную задачу. Мы хотим найти производную функции \(z\) по переменным \(x\) и \(y\) в точке \((1;2)\) вдоль направления \(l\), заданного вектором \((-1, 2)\).

Для начала, найдем частные производные функции \(z\) по переменным \(x\) и \(y\). Обозначим эти производные как \(\frac{{\partial z}}{{\partial x}}\) и \(\frac{{\partial z}}{{\partial y}}\) соответственно.

Чтобы найти \(\frac{{\partial z}}{{\partial x}}\), мы продифференцируем функцию \(z\) по переменной \(x\) при фиксированном значении \(y\) (т.е. считая \(y\) константой). Обратите внимание, что в данном случае переменная \(y\) рассматривается как константа.

\[
\frac{{\partial z}}{{\partial x}} = \frac{{\partial}}{{\partial x}} (x^2 - 2xy + 3y - 1)
\]

Дифференцируя каждый член по отдельности, получим:

\[
\frac{{\partial z}}{{\partial x}} = \frac{{\partial}}{{\partial x}} (x^2) - \frac{{\partial}}{{\partial x}} (2xy) + \frac{{\partial}}{{\partial x}} (3y) - \frac{{\partial}}{{\partial x}} (1)
\]

Теперь вычислим каждую частную производную:

\[
\frac{{\partial}}{{\partial x}} (x^2) = 2x
\]

\[
\frac{{\partial}}{{\partial x}} (2xy) = 2y
\]

\[
\frac{{\partial}}{{\partial x}} (3y) = 0
\]

\[
\frac{{\partial}}{{\partial x}} (1) = 0
\]

Суммируя эти результаты, получим:

\[
\frac{{\partial z}}{{\partial x}} = 2x - 2y
\]

Аналогично, чтобы найти \(\frac{{\partial z}}{{\partial y}}\), мы продифференцируем функцию \(z\) по переменной \(y\) при фиксированном значении \(x\) (т.е. считая \(x\) константой). В данном случае переменная \(x\) рассматривается как константа.

Вычислим каждую частную производную:

\[
\frac{{\partial}}{{\partial y}} (x^2) = 0
\]

\[
\frac{{\partial}}{{\partial y}} (2xy) = 2x
\]

\[
\frac{{\partial}}{{\partial y}} (3y) = 3
\]

\[
\frac{{\partial}}{{\partial y}} (1) = 0
\]

Суммируя эти результаты, получим:

\[
\frac{{\partial z}}{{\partial y}} = -2x + 3
\]

Теперь, чтобы найти производную функции \(z\) вдоль направления \(l\) в точке \((1;2)\), мы будем использовать следующую формулу:

\[
\nabla_{\mathbf{u}} z = \frac{{\partial z}}{{\partial x}} \cdot u_x + \frac{{\partial z}}{{\partial y}} \cdot u_y
\]

где \(\nabla_{\mathbf{u}} z\) - градиент функции \(z\) вдоль вектора \(\mathbf{u} = (u_x, u_y)\).

Учитывая, что направление \(l\) задано вектором \((-1, 2)\), подставим значения частных производных и вектора направления в формулу:

\[
\nabla_{(-1, 2)} z = \frac{{\partial z}}{{\partial x}} \cdot (-1) + \frac{{\partial z}}{{\partial y}} \cdot 2
\]

Подставим ранее найденные значения частных производных:

\[
\nabla_{(-1, 2)} z = (2x - 2y) \cdot (-1) + (-2x + 3) \cdot 2
\]

Подставим координаты точки \((1;2)\):

\[
\nabla_{(-1, 2)} z = (2 \cdot 1 - 2 \cdot 2) \cdot (-1) + (-2 \cdot 1 + 3) \cdot 2
\]

Вычисляя это выражение, получим:

\[
\nabla_{(-1, 2)} z = (-2) \cdot (-1) + 1 \cdot 2 = 2 + 2 = 4
\]

Таким образом, производная функции \(z\) по направлению \(l\) в точке \((1;2)\) равна 4.