Найдите сумму всех решений Системы уравнений 3х-4у=6 и х^2-8у^2=-2

Золотой_Дракон

33

Для начала, давайте решим первое уравнение системы 3х - 4у = 6 относительно x:

3х - 4у = 6

Добавим 4у к обеим сторонам уравнения:

3х = 4у + 6

Разделим обе стороны на 3:

х = (4у + 6) / 3

Теперь, подставим полученное значение х во второе уравнение х² - 8у² = -2:

((4у + 6) / 3)² - 8у² = -2

Упростим это уравнение:

(16у² + 48у + 36) / 9 - 8у² = -2

Умножим обе стороны на 9, чтобы избавиться от знаменателя:

16у² + 48у + 36 - 72у² = -18

Сгруппируем члены с у в одну часть уравнения и константы в другую:

-56у² + 48у + 54 = 0

Теперь нам нужно решить это квадратное уравнение относительно у. Мы можем использовать квадратное уравнение для его решения.

Для начала, найдем дискриминант D уравнения:

D = b² - 4ac

где a = -56, b = 48 и c = 54.

D = (48)² - 4(-56)(54)
D = 2304 + 12096
D = 14400

Так как дискриминант положительный, у уравнения есть два действительных корня.

Используем формулу для нахождения корней:

у₁,₂ = (-b ± √D) / (2a)

у₁ = (-48 + √14400) / (2(-56))
у₁ = (-48 + 120) / (-112)
у₁ = 72 / -112
у₁ = -0.64

у₂ = (-48 - √14400) / (2(-56))
у₂ = (-48 - 120) / (-112)
у₂ = -168 / -112
у₂ = 1.5

Таким образом, мы нашли два значения y: -0.64 и 1.5.

Теперь, чтобы найти значения x, подставим каждое значение y в первое уравнение системы:

3х - 4(-0.64) = 6
3х + 2.56 = 6
3х = 6 - 2.56
3х = 3.44
х = 3.44 / 3
х ≈ 1.15

3х - 4(1.5) = 6
3х - 6 = 6
3х = 6 + 6
3х = 12
х = 12 / 3
х = 4

Таким образом, мы нашли две пары решений системы уравнений:

(x, y) = (1.15, -0.64) и (4, 1.5)

Чтобы найти сумму всех решений, сложим значения y каждой пары:

-0.64 + 1.5 = 0.86

Таким образом, сумма всех решений системы уравнений равна 0.86.