Найдите угол между векторами a-b и a+2b при условии, что |а| равно 2, |b| равно 1, и угол между векторами аb равен

Laska

63

Для решения данной задачи нам необходимо использовать свойства скалярного произведения векторов и определение угла между ними.

Дано:
Длина вектора а (|а|) равна 2.
Длина вектора b (|b|) равна 1.
Угол между векторами а и b равен 120 градусов.

Решение:
Сначала найдем скалярное произведение векторов а и b, которое обозначается как а·b:

\[а·b = |а| * |b| * cos(угол\;между\;векторами\;а\;и\;b)\]

Подставляя известные значения, получим:

\[а·b = 2 * 1 * cos(120°) = 2 * 1 * (-0.5) = -1\]

Обратите внимание, что мы использовали значение косинуса 120 градусов, которое равно -0.5.

Теперь найдем скалярное произведение векторов a-b и a+2b:

\[(a-b)·(a+2b) = а·а – а·b + 2*(а·b) – b·b\]

Подставляем значение а·b:

\[(a-b)·(a+2b) = а·а – а·b + 2*(-1) – b·b\]

Теперь необходимо вычислить каждое из этих скалярных произведений:

\begin{align*}
а·а &= |а|^2 = 2^2 = 4 \\
а·b &= -1 \quad (\text{мы уже это вычислили}) \\
b·b &= |b|^2 = 1^2 = 1
\end{align*}

Подставляем значения в исходное уравнение:

\[(a-b)·(a+2b) = 4 – (-1) + 2*(-1) – 1 = 4 + 1 - 2 - 1 = 2\]

Таким образом, скалярное произведение векторов a-b и a+2b равно 2.

Найдем длины векторов a-b и a+2b:

\begin{align*}
|a-b| &= \sqrt{(a-b)·(a-b)} \\
|a+2b| &= \sqrt{(a+2b)·(a+2b)}
\end{align*}

Подставляем значение скалярного произведения:

\begin{align*}
|a-b| &= \sqrt{2} \\
|a+2b| &= \sqrt{2}
\end{align*}

Обратите внимание, что мы использовали значение скалярного произведения, полученное ранее.

Теперь найдем косинус угла между векторами a-b и a+2b:

\[cos(угол) = \frac{(a-b)·(a+2b)}{|a-b| * |a+2b|}\]

Подставляем известные значения:

\[cos(угол) = \frac{2}{\sqrt{2} * \sqrt{2}} = \frac{2}{2} = 1\]

Таким образом, косинус угла между векторами a-b и a+2b равен 1.

Наконец, найдем сам угол, используя обратную функцию косинуса:

\[угол = arccos(1) = 0°\]

Таким образом, угол между векторами a-b и a+2b равен 0 градусов.

Итак, ответ: Угол между векторами a-b и a+2b равен 0 градусов.