Найдите угол между вектором OA и положительной полуосью Ox на начале координатной системы. Ответ: Угол между вектором

Sverkayuschiy_Dzhinn_1657

14

Для начала, давайте разберем, что такое вектор и положительная полуось Ox. Вектор - это математический объект, который имеет направление и длину. Он может быть представлен как направленный отрезок, соединяющий две точки. В данном случае, вектор OA начинается в точке O (начало координатной системы) и заканчивается в точке A.

Положительная полуось Ox - это ось координатной системы, которая направлена в положительном направлении по горизонтальной оси.

Чтобы найти угол между вектором OA и положительной полуосью Ox, мы можем воспользоваться определением скалярного произведения векторов. Скалярное произведение двух векторов определяется как произведение их длин и косинуса угла между ними.

Давайте обозначим длину вектора OA как |OA| и угол между вектором OA и положительной полуосью Ox как θ. Тогда скалярное произведение вектора OA и положительной полуоси Ox можно выразить следующим образом:

\(OA \cdot Ox = |OA| \cdot |Ox| \cdot \cos(\theta)\)

Так как вектор OA начинается в точке O и заканчивается в точке A, то его длина равна расстоянию между этими точками. В данном случае, начало вектора OA совпадает с началом координатной системы, поэтому его длина равна длине отрезка, соединяющего точку O и точку A.

Теперь мы можем рассмотреть координаты точки A. Заметим, что точка A находится на положительной полуоси Ox, поэтому ее вертикальная координата (y-координата) равна нулю. Однако, горизонтальная координата (x-координата) точки A может быть любой. Пусть x_A обозначает горизонтальную координату точки A.

Тогда, используя теорему Пифагора для треугольника OAB, где ОА - его гипотенуза, а Ох - его катет, можно записать следующее:

\[|OA|^2 = |Ox|^2 + |Ax|^2\]

Подставляя значения длины вектора OA и длины положительной полуоси Ox, получим:

\[|OA|^2 = x_A^2\]

Теперь мы знаем, что |OA| равно \( \sqrt{x_A^2} = |x_A|\), так как длина всегда положительна.

Возвращаясь к формуле скалярного произведения, подставим значение длины вектора OA:

\(OA \cdot Ox = |OA| \cdot |Ox| \cdot \cos(\theta)\)

\(x_A \cdot |Ox| \cdot \cos(\theta) = |x_A| \cdot |Ox| \cdot \cos(\theta)\)

Так как координаты точки A находятся только на положительной полуоси Ox (y-координата равна нулю), то косинус угла между вектором OA и положительной полуосью Ox можно выразить следующим образом:

\(\cos(\theta) = \frac{x_A}{|x_A|}\)

Теперь, для вычисления угла θ, подставим это значение в начальное уравнение:

\(x_A \cdot |Ox| \cdot \cos(\theta) = |x_A| \cdot |Ox| \cdot \cos(\theta)\)

Поскольку множители \(|Ox|\) и \(\cos(\theta)\) не равны нулю, их можно сократить:

\(x_A = |x_A|\)

Это означает, что горизонтальная координата x_A точки A на положительной полуоси Ox равна ее абсолютному значению, так как она находится только на положительной полуоси.

Теперь мы можем увидеть, что угол между вектором OA и положительной полуосью Ox будет:

\(\theta = \cos^{-1}\left(\frac{x_A}{|x_A|}\right)\)

Таким образом, угол между вектором OA и положительной полуосью Ox равен \(\theta = \cos^{-1}\left(\frac{x_A}{|x_A|}\right)\).

Надеюсь, этот подробный ответ помог вам понять, как найти угол между вектором OA и положительной полуосью Ox в данной координатной системе. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать. Я всегда готов помочь!