Найдите все решения уравнения 4/sin^2(7п/2-x) - 11/cosx + 6 = 0, которые лежат в интервале (2pi; 7pi/2

Плюшка

43

Хорошо, давайте решим данное уравнение шаг за шагом.

У нас есть уравнение \(\frac{4}{{\sin^2\left(\frac{7\pi}{2} - x\right)}} - \frac{11}{{\cos x}} + 6 = 0\) и нам нужно найти все решения, лежащие в интервале \((2\pi, \frac{7\pi}{2})\).

1. Начнем с приведения уравнения к общему знаменателю. У нас в уравнении есть два знаменателя \(\sin^2\left(\frac{7\pi}{2} - x\right)\) и \(\cos x\), поэтому мы должны найти их общий знаменатель.

У нас есть формула идентичности тригонометрии, которая гласит: \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\). Используя это соотношение, мы можем записать \(\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta\) или \(\cos \theta = \sqrt{1 - \sin^2 \theta}\).

2. Применим эту формулу к нашему уравнению. Заменим \(\cos x\) на \(\sqrt{1 - \sin^2 x}\):

\[\frac{4}{{\sin^2\left(\frac{7\pi}{2} - x\right)}} - \frac{11}{{\sqrt{1 - \sin^2 x}}} + 6 = 0\]

3. Теперь наше уравнение содержит только один знаменатель. Умножим все члены уравнения на \(\sin^2\left(\frac{7\pi}{2} - x\right)\sqrt{1 - \sin^2 x}\), чтобы избавиться от знаменателей:

\[4\sqrt{1 - \sin^2 x} - 11\sin^2\left(\frac{7\pi}{2} - x\right)\sin\left(\frac{7\pi}{2} - x\right) + 6\sin^2\left(\frac{7\pi}{2} - x\right)\sqrt{1 - \sin^2 x} = 0\]

4. Сократим подобные члены:

\[4\sqrt{1 - \sin^2 x} + 6\sin^2\left(\frac{7\pi}{2} - x\right)\sqrt{1 - \sin^2 x} - 11\sin^2\left(\frac{7\pi}{2} - x\right)\sin\left(\frac{7\pi}{2} - x\right) = 0\]

5. Теперь приведем подобные члены в одну группу:

\[4\sqrt{1 - \sin^2 x} + 6\sqrt{1 - \sin^2 x}\sin^2\left(\frac{7\pi}{2} - x\right) - 11\sin^2\left(\frac{7\pi}{2} - x\right)\sin\left(\frac{7\pi}{2} - x\right) = 0\]

6. Мы видим, что \(\sqrt{1 - \sin^2 x}\) является общим множителем. Вынесем его за скобки:

\[\sqrt{1 - \sin^2 x}\left(4 + 6\sin^2\left(\frac{7\pi}{2} - x\right) - 11\sin\left(\frac{7\pi}{2} - x\right)\right) = 0\]

Теперь мы можем рассмотреть две возможности:

a) \(\sqrt{1 - \sin^2 x} = 0\)

Данное уравнение верно только при \(\sin x = 1\) или \(x = \frac{\pi}{2}\).

b) \(4 + 6\sin^2\left(\frac{7\pi}{2} - x\right) - 11\sin\left(\frac{7\pi}{2} - x\right) = 0\)

7. Решим уравнение \(4 + 6\sin^2\left(\frac{7\pi}{2} - x\right) - 11\sin\left(\frac{7\pi}{2} - x\right) = 0\) относительно \(\sin\left(\frac{7\pi}{2} - x\right)\) с помощью подстановки \(t = \sin\left(\frac{7\pi}{2} - x\right)\):

\[4 + 6t^2 - 11t = 0\]

8. Разложим это уравнение на множители:

\[2(3t - 1)(t - 4) = 0\]

9. Найдем значения \(t\) из этого уравнения:

a) \(3t - 1 = 0\) или \(t = \frac{1}{3}\)

b) \(t - 4 = 0\) или \(t = 4\)

10. Теперь мы можем найти значения \(\sin\left(\frac{7\pi}{2} - x\right)\):

a) Если \(t = \frac{1}{3}\), то \(\sin\left(\frac{7\pi}{2} - x\right) = \frac{1}{3}\)
Отсюда \(\frac{7\pi}{2} - x = \sin^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)\)
Таким образом, \(x = \frac{7\pi}{2} - \sin^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)\)

b) Если \(t = 4\), то \(\sin\left(\frac{7\pi}{2} - x\right) = 4\)
Но такого значения \(\sin\) не существует, поэтому необходимо отбросить это решение.

11. Итак, решение уравнения \(\frac{4}{{\sin^2\left(\frac{7\pi}{2} - x\right)}} - \frac{11}{{\cos x}} + 6 = 0\) в интервале \((2\pi, \frac{7\pi}{2})\) - это:

\(x = \frac{7\pi}{2} - \sin^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)\)

Надеюсь, это решение понятно и полезно для вас. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, дайте мне знать.