Найдите все треугольники, вписанные в окружность фиксированного радиуса, с известной суммой квадратов всех углов

Папоротник

63

Для решения этой задачи, нам потребуется знание тригонометрических свойств и формул, связанных с треугольниками, вписанными в окружность.

Предположим, что у нас есть треугольник \(ABC\) со сторонами \(a\), \(b\) и \(c\), где \(a\) - сторона противолежащая углу \(\alpha\), \(b\) - противолежащая углу \(\beta\) и \(c\) - противолежащая углу \(\gamma\). Также предположим, что треугольник вписан в окружность радиусом \(R\).

В нашем случае у нас имеется условие на сумму квадратов всех углов: \(\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = \frac{89\pi^2}{169}\).

Первое, что мы можем заметить, это что сумма углов всех треугольников равна \(\pi\), то есть \(\alpha + \beta + \gamma = \pi\).

Затем мы можем воспользоваться формулой синуса для нахождения попарных произведений углов. Формула синуса гласит:

\[
\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{c}{\sin(\gamma)} = 2R
\]

Теперь мы можем выразить каждую из сторон через синусы углов и радиус окружности:

\[
a = 2R \sin(\alpha), \quad b = 2R \sin(\beta), \quad c = 2R \sin(\gamma)
\]

Также, так как треугольник вписан в окружность, мы можем использовать свойство треугольника, что каждый угол вписанного треугольника равен половине дуги, которую он заключает:

\[
\alpha = \frac{\angle BAC}{2}, \quad \beta = \frac{\angle CBA}{2}, \quad \gamma = \frac{\angle ACB}{2}
\]

Теперь мы можем перейти к дальнейшему решению задачи. Подставим полученные равенства в условие \(\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = \frac{89\pi^2}{169}\):

\[
\left(\frac{\angle BAC}{2}\right)^2 + \left(\frac{\angle CBA}{2}\right)^2 + \left(\frac{\angle ACB}{2}\right)^2 = \frac{89\pi^2}{169}
\]

Умножим обе части уравнения на \(\frac{4}{\pi^2}\) и приведём полученное уравнение к виду:

\[
\frac{4\angle BAC^2}{\pi^2} + \frac{4\angle CBA^2}{\pi^2} + \frac{4\angle ACB^2}{\pi^2} = \frac{4 \cdot 89}{169}
\]

\[
\left(\frac{2\angle BAC}{\pi}\right)^2 + \left(\frac{2\angle CBA}{\pi}\right)^2 + \left(\frac{2\angle ACB}{\pi}\right)^2 = \frac{8 \cdot 89}{169}
\]

Теперь мы можем заметить, что значения в скобках в левой части уравнения являются синусами углов исходного треугольника. Подставим:

\[
\sin^2(\alpha) + \sin^2(\beta) + \sin^2(\gamma) = \frac{8 \cdot 89}{169}
\]

Теперь мы можем воспользоваться другим тригонометрическим соотношением для попарных произведений синусов:

\[
\sin^2(\alpha) + \sin^2(\beta) + \sin^2(\gamma) = \frac{1}{2}(\cos(2\alpha) + \cos(2\beta) + \cos(2\gamma) + 3)
\]

Подставим наше выражение для суммы синусов обратно в уравнение:

\[
\frac{1}{2}(\cos(2\alpha) + \cos(2\beta) + \cos(2\gamma) + 3) = \frac{8 \cdot 89}{169}
\]

\[
\cos(2\alpha) + \cos(2\beta) + \cos(2\gamma) = \frac{8 \cdot 89}{169} \cdot 2 - 3
\]

\[
\cos(2\alpha) + \cos(2\beta) + \cos(2\gamma) = \frac{16 \cdot 89}{169} - \frac{3}{2}
\]

Таким образом, наименьшее значение из всех попарных произведений углов треугольников, вписанных в окружность фиксированного радиуса с заданной суммой квадратов углов \(\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = \frac{89\pi^2}{169}\), равно \(\frac{16 \cdot 89}{169} - \frac{3}{2}\).

Далее мы можем вычислить это значение и округлить до двух знаков после запятой:

\[
\frac{16 \cdot 89}{169} - \frac{3}{2} \approx 8.85
\]

Таким образом, наименьшее значение из всех попарных произведений углов равно примерно 8.85.