Найдите все возможные равновесия на рынке или докажите, что их нет, если на рынке присутствуют две фирмы, конкурирующие

Степан

29

Для нахождения равновесия на рынке при конкуренции по Бертрану, необходимо найти такие цены \( P_1 \) и \( P_2 \), при которых ни одна из фирм не имеет стимула изменять свою цену, их спрос и предложение совпадают.

а) Предположим, что функция спроса задана как \( Q_d = 10 - P \).

В данном случае, чтобы найти равновесие, мы должны найти такие цены \( P_1 \) и \( P_2 \), при которых объемы производства и цены двух фирм равны. Для этого сравним их функции издержек и прибыли.

Функция издержек первой фирмы: \( TC_1(Q_1) = 2Q_1 \)
Функция издержек второй фирмы: \( TC_2(Q_2) = 4Q_2 \)

Функция прибыли первой фирмы: \( \pi_1(Q_1) = P_1 \cdot Q_1 - TC_1(Q_1) = P_1 \cdot Q_1 - 2Q_1 \)
Функция прибыли второй фирмы: \( \pi_2(Q_2) = P_2 \cdot Q_2 - TC_2(Q_2) = P_2 \cdot Q_2 - 4Q_2 \)

Так как фирмы конкурируют по Бертрану, каждая фирма будет выбирать такую цену \( P_1 \) и \( P_2 \), которая приводит к максимизации ее прибыли при условии равенства цены ее конкурента.

Итак, первая фирма будет выбирать цену \( P_1 \), которая максимизирует ее прибыль:
\(\dfrac{d\pi_1(Q_1)}{dQ_1} = \dfrac{d(P_1 \cdot Q_1 - 2Q_1)}{dQ_1} = P_1 - 2 = 0\)
\( P_1 = 2\)

Аналогично, вторая фирма будет выбирать цену \( P_2 \):
\(\dfrac{d\pi_2(Q_2)}{dQ_2} = \dfrac{d(P_2 \cdot Q_2 - 4Q_2)}{dQ_2} = P_2 - 4 = 0\)
\( P_2 = 4\)

Теперь найдем количество товара, которое будет производить каждая фирма при данных ценах.

Для первой фирмы:
\( Q_1 = \dfrac{Q_d - TC_1}{P_1} = \dfrac{10 - P_1 - 2Q_1}{2} \)
\( Q_1 = \dfrac{10 - 2 - 2Q_1}{2} \)
\( 3Q_1 = 8 \)
\( Q_1 = \dfrac{8}{3}\)

Для второй фирмы:
\( Q_2 = \dfrac{Q_d - TC_2}{P_2} = \dfrac{10 - P_2 - 4Q_2}{4} \)
\( Q_2 = \dfrac{10 - 4 - 4Q_2}{4} \)
\( 5Q_2 = 6 \)
\( Q_2 = \dfrac{6}{5}\)

Таким образом, при ценах \( P_1 = 2 \) и \( P_2 = 4 \), первая фирма производит \( Q_1 = \dfrac{8}{3} \) единиц товара, а вторая фирма производит \( Q_2 = \dfrac{6}{5} \) единиц товара. Это составляет равновесие на рынке.

б) Предположим, что функция спроса задана как \( Q_d = 10 - 2P \).

Для нахождения равновесия, мы используем аналогичный подход, но с новой функцией спроса.
Функция прибыли первой фирмы: \( \pi_1(Q_1) = P_1 \cdot Q_1 - TC_1(Q_1) = P_1 \cdot Q_1 - 2Q_1 \)
Функция прибыли второй фирмы: \( \pi_2(Q_2) = P_2 \cdot Q_2 - TC_2(Q_2) = P_2 \cdot Q_2 - 4Q_2 \)

Максимизируя прибыль каждой фирмы, вычисляем производные:

\(\dfrac{d\pi_1(Q_1)}{dQ_1} = \dfrac{d(P_1 \cdot Q_1 - 2Q_1)}{dQ_1} = P_1 - 2 = 0\)
\( P_1 = 2\)

\(\dfrac{d\pi_2(Q_2)}{dQ_2} = \dfrac{d(P_2 \cdot Q_2 - 4Q_2)}{dQ_2} = P_2 - 4 = 0\)
\( P_2 = 4\)

Теперь вычисляем количество товара, которое производится каждой фирмой:

Для первой фирмы:
\( Q_1 = \dfrac{Q_d - TC_1}{P_1} = \dfrac{10 - 2P_1 - 2Q_1}{2} \)
\( Q_1 = \dfrac{10 - 4 - 2Q_1}{2} \)
\( 3Q_1 = 6 \)
\( Q_1 = 2\)

Для второй фирмы:
\( Q_2 = \dfrac{Q_d - TC_2}{P_2} = \dfrac{10 - 2P_2 - 4Q_2}{4} \)
\( Q_2 = \dfrac{10 - 8 - 4Q_2}{4} \)
\( 5Q_2 = 2 \)
\( Q_2 = \dfrac{2}{5}\)

Таким образом, при ценах \( P_1 = 2 \) и \( P_2 = 4 \), первая фирма производит \( Q_1 = 2 \) единицы товара, а вторая фирма производит \( Q_2 = \dfrac{2}{5} \) единиц товара. Это составляет равновесие на рынке.

Таким образом, мы найдем все возможные равновесия на рынке при данных условиях.