Найдите высоту трапеции ABCD, если BC || AD, CK и DK - биссектрисы углов C и D, а расстояние от точки K до прямой

Григорий

25

Обозначим высоту трапеции как \(h\).
Так как стороны BC и AD параллельны, углы BCD и ABD соответственно являются соответственными углами, и они равны.
Также, поскольку CK и DK являются биссектрисами углов C и D, углы BCK и ADK равны между собой.

Давайте рассмотрим треугольник BCK. В нем имеется биссектриса угла B, проходящая через точку K и перпендикулярная стороне BC. Пусть точка пересечения этой биссектрисы с стороной BC обозначается как P. Также обозначим отрезок BP как \(x\) и отрезок CP как \(y\).

Так как биссектриса делит основание треугольника на два отрезка пропорциональных к смежным сторонам, получим следующее:
\(\frac{BK}{CK} = \frac{AB}{AC}\).

Заметим, что BK + CK = BC, а AB + AC = AD, так как BC и AD параллельны. Поэтому можно записать следующее равенство:
\(BC = BK + CK = AB + AC = AD\).

Теперь мы можем записать соотношение для отрезков \(x\) и \(y\):
\(x + y = BC\).

Следовательно, \(x + y = AD\).

Теперь рассмотрим треугольник ADK. В нем имеется высота из вершины D, перпендикулярная стороне AD. Обозначим точку пересечения этой высоты с стороной AD как Q.

Так как DK также является биссектрисой угла D, получим, что угол ADB равен углу ADK.

Таким образом, треугольники ADB и ADK подобны, поскольку у них есть два равных угла.

Теперь рассмотрим подобные треугольники BCK и ADK. У них также есть два равных угла. Поэтому, соотношение между отрезками \(x\) и \(y\) такое же, как и соотношение между отрезками BK и CK.

Используя это, мы можем записать:
\(\frac{x}{y} = \frac{BK}{CK}\).

Так как \(x + y = AD\), мы можем заменить \(x\) и \(y\) в этом соотношении:
\(\frac{AD - y}{y} = \frac{BK}{CK}\).

Попереставляем дробь:
\(\frac{AD}{y} - 1 = \frac{BK}{CK}\).

Теперь мы можем выразить \(BK\) через \(y\) и \(\frac{BK}{CK}\):
\(BK = \frac{BK}{CK} \cdot CK = \left(\frac{AD}{y} - 1\right) \cdot CK\).

Итак, мы получили выражение для отрезка \(BK\) через \(y\), а мы хотим выразить \(h\) через \(y\).
Заметим, что \(h = BP + DQ\).

Так как ADK и BCK подобны, получим, что \(\frac{DQ}{CK} = \frac{h}{y}\).

Подставим значение \(BK\) в это соотношение:
\(\frac{DQ}{CK} = \frac{BP + CK}{CK} = \frac{BP}{CK} + 1\).

Теперь мы можем выразить \(DQ\) через \(y\) и \(\frac{BP}{CK}\):

\(DQ = \left(\frac{BP}{CK} + 1\right) \cdot CK\).

Таким образом, получаем, что:

\(h = BP + DQ = BP + \left(\frac{BP}{CK} + 1\right) \cdot CK \).

Осталось только выразить \(BP\) через \(y\).

Заметим, что \(x = BP\).

Тогда, достаточно подставить выражение для \(x\) в исходное соотношение \(x + y = AD\), и получим выражение для \(BP\):

\(BP = x = AD - y\).

Собираем все вместе:
\(h = BP + \left(\frac{BP}{CK} + 1\right) \cdot CK = (AD - y) + \left(\frac{AD - y}{y} + 1\right) \cdot CK\).

Это и есть окончательное выражение для высоты трапеции ABCD в терминах данных в задаче.