Найдите высоту трапеции ABCD, если BC || AD, CK и DK - биссектрисы углов C и D, а расстояние от точки K до прямой
Найдите высоту трапеции ABCD, если BC || AD, CK и DK - биссектрисы углов C и D, а расстояние от точки K до прямой CD составляет 4 см.
Григорий 25
Обозначим высоту трапеции какТак как стороны BC и AD параллельны, углы BCD и ABD соответственно являются соответственными углами, и они равны.
Также, поскольку CK и DK являются биссектрисами углов C и D, углы BCK и ADK равны между собой.
Давайте рассмотрим треугольник BCK. В нем имеется биссектриса угла B, проходящая через точку K и перпендикулярная стороне BC. Пусть точка пересечения этой биссектрисы с стороной BC обозначается как P. Также обозначим отрезок BP как
Так как биссектриса делит основание треугольника на два отрезка пропорциональных к смежным сторонам, получим следующее:
Заметим, что BK + CK = BC, а AB + AC = AD, так как BC и AD параллельны. Поэтому можно записать следующее равенство:
Теперь мы можем записать соотношение для отрезков
Следовательно,
Теперь рассмотрим треугольник ADK. В нем имеется высота из вершины D, перпендикулярная стороне AD. Обозначим точку пересечения этой высоты с стороной AD как Q.
Так как DK также является биссектрисой угла D, получим, что угол ADB равен углу ADK.
Таким образом, треугольники ADB и ADK подобны, поскольку у них есть два равных угла.
Теперь рассмотрим подобные треугольники BCK и ADK. У них также есть два равных угла. Поэтому, соотношение между отрезками
Используя это, мы можем записать:
Так как
Попереставляем дробь:
Теперь мы можем выразить
Итак, мы получили выражение для отрезка
Заметим, что
Так как ADK и BCK подобны, получим, что
Подставим значение
Теперь мы можем выразить
Таким образом, получаем, что:
Осталось только выразить
Заметим, что
Тогда, достаточно подставить выражение для
Собираем все вместе:
Это и есть окончательное выражение для высоты трапеции ABCD в терминах данных в задаче.