Найдите высоту трапеции ABCD, если BC || AD, CK и DK - биссектрисы углов C и D, а расстояние от точки K до прямой

  • 40
Найдите высоту трапеции ABCD, если BC || AD, CK и DK - биссектрисы углов C и D, а расстояние от точки K до прямой CD составляет 4 см.
Григорий
25
Обозначим высоту трапеции как h.
Так как стороны BC и AD параллельны, углы BCD и ABD соответственно являются соответственными углами, и они равны.
Также, поскольку CK и DK являются биссектрисами углов C и D, углы BCK и ADK равны между собой.

Давайте рассмотрим треугольник BCK. В нем имеется биссектриса угла B, проходящая через точку K и перпендикулярная стороне BC. Пусть точка пересечения этой биссектрисы с стороной BC обозначается как P. Также обозначим отрезок BP как x и отрезок CP как y.

Так как биссектриса делит основание треугольника на два отрезка пропорциональных к смежным сторонам, получим следующее:
BKCK=ABAC.

Заметим, что BK + CK = BC, а AB + AC = AD, так как BC и AD параллельны. Поэтому можно записать следующее равенство:
BC=BK+CK=AB+AC=AD.

Теперь мы можем записать соотношение для отрезков x и y:
x+y=BC.

Следовательно, x+y=AD.

Теперь рассмотрим треугольник ADK. В нем имеется высота из вершины D, перпендикулярная стороне AD. Обозначим точку пересечения этой высоты с стороной AD как Q.

Так как DK также является биссектрисой угла D, получим, что угол ADB равен углу ADK.

Таким образом, треугольники ADB и ADK подобны, поскольку у них есть два равных угла.

Теперь рассмотрим подобные треугольники BCK и ADK. У них также есть два равных угла. Поэтому, соотношение между отрезками x и y такое же, как и соотношение между отрезками BK и CK.

Используя это, мы можем записать:
xy=BKCK.

Так как x+y=AD, мы можем заменить x и y в этом соотношении:
ADyy=BKCK.

Попереставляем дробь:
ADy1=BKCK.

Теперь мы можем выразить BK через y и BKCK:
BK=BKCKCK=(ADy1)CK.

Итак, мы получили выражение для отрезка BK через y, а мы хотим выразить h через y.
Заметим, что h=BP+DQ.

Так как ADK и BCK подобны, получим, что DQCK=hy.

Подставим значение BK в это соотношение:
DQCK=BP+CKCK=BPCK+1.

Теперь мы можем выразить DQ через y и BPCK:

DQ=(BPCK+1)CK.

Таким образом, получаем, что:

h=BP+DQ=BP+(BPCK+1)CK.

Осталось только выразить BP через y.

Заметим, что x=BP.

Тогда, достаточно подставить выражение для x в исходное соотношение x+y=AD, и получим выражение для BP:

BP=x=ADy.

Собираем все вместе:
h=BP+(BPCK+1)CK=(ADy)+(ADyy+1)CK.

Это и есть окончательное выражение для высоты трапеции ABCD в терминах данных в задаче.