Найдите значение a, если точки А, В и М лежат на одной прямой, причем АМ=аМВ, и для данных точек и произвольной точки

Хорёк

28

Для решения данной задачи нам необходимо использовать свойства отношения расстояний на прямой.

а) Найдем значение \( a \) для равенства \( \overline{OM} = \frac{1}{2}\overline{OA} + \frac{1}{2}\overline{OB} \).

Отношение расстояний между точками можно записать как:

\[
\frac{\overline{OM}}{\overline{OA}} = \frac{\overline{OB}}{\overline{OM}}
\]

Подставим значения в соответствующие отношения:

\[
\frac{a\overline{MV}}{a\overline{MA}} = \frac{a\overline{MB}}{a\overline{MV}}
\]

Упрощаем выражение, учитывая, что \( \overline{MA} = a\overline{MV} \) и \( \overline{OB} = \overline{OA} \):

\[
\frac{1}{a} = \frac{a}{1}
\]

Умножим обе части уравнения на \( a \):

\[
1 = a^2
\]

Извлекаем корень из обеих частей уравнения:

\[
a = 1
\]

Таким образом, значение \( a \) равно 1.

б) Перейдем к второму равенству: \( \overline{OM} = \frac{1}{3}\overline{OA} + \frac{2}{3}\overline{OB} \).

Рассмотрим аналогичные действия:

\[
\frac{\overline{OM}}{\overline{OA}} = \frac{\overline{OB}}{\overline{OM}}
\]

Подставляем значения:

\[
\frac{a\overline{MV}}{a\overline{MA}} = \frac{a\overline{MB}}{a\overline{MV}}
\]

С учетом \( \overline{MA} = a\overline{MV} \) и \( \overline{OB} = 2\overline{OA} \):

\[
\frac{1}{a} = \frac{2a}{1}
\]

Умножаем обе части на \( a \):

\[
\frac{1}{a} \cdot a = 2a \cdot a
\]

Получаем:

\[
1 = 2a^2
\]

Разделим обе части на 2:

\[
\frac{1}{2} = a^2
\]

Извлекаем корень:

\[
a = \frac{\sqrt{2}}{2}
\]

Таким образом, значение \( a \) равно \( \frac{\sqrt{2}}{2} \).