Найдите значение площади треугольника ABC, если сторона AB равна √2, сторона AC равна 4, а сторона BC равна

Letuchiy_Fotograf

58

Для решения этой задачи воспользуемся формулой Герона, которая позволяет вычислить площадь треугольника по значениям его сторон. Формула Герона выглядит следующим образом:

\[S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}\]

где \(S\) - площадь треугольника, \(a\), \(b\), \(c\) - длины сторон треугольника, \(p\) - полупериметр треугольника, который находится по формуле:

\[p = \frac{a + b + c}{2}\]

В нашем случае, сторона \(AB\) равна \(\sqrt{2}\), сторона \(AC\) равна 4, и сторона \(BC\) равна \(x\) (данные о значении стороны \(BC\) отсутствуют в вопросе). Чтобы найти площадь треугольника, нам необходимо найти значение стороны \(BC\).

Применим теорему косинусов, чтобы найти \(BC\). В треугольнике ABC, угол A противолежит стороне \(BC\). Теорема косинусов гласит:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C)\]

где \(a\), \(b\), \(c\) - длины сторон треугольника, \(\angle C\) - угол между сторонами \(a\) и \(b\).

В нашем случае, угол \(C\) равен 90 градусов, так как это прямоугольный треугольник, исторона \(AB\) равна \(\sqrt{2}\), а сторона \(AC\) равна 4. Подставим данные в формулу:

\[BC^2 = (\sqrt{2})^2 + 4^2 - 2(\sqrt{2})(4)\cos(90^\circ)\]
\[BC^2 = 2 + 16 - 8\sqrt{2}(0)\]
\[BC^2 = 18\]
\[BC = \sqrt{18}\]

Теперь, когда у нас есть значения всех трех сторон треугольника, мы можем вычислить площадь с помощью формулы Герона. Полупериметр \(p\) можно найти, используя формулу:

\[p = \frac{\text{Сумма всех сторон треугольника}}{2}\]

В нашем случае:

\[p = \frac{\sqrt{2} + 4 + \sqrt{18}}{2}\]

Подставим значение \(p\) в формулу площади:

\[S = \sqrt{p(p - \sqrt{2})(p - 4)(p - \sqrt{18})}\]

Теперь мы можем вычислить площадь треугольника, используя эти значения.