Какова площадь прямоугольника ABCD, если диагонали пересекаются в точке О, и расстояние от этой точки до сторон

Милочка

27

Чтобы решить эту задачу, мы можем воспользоваться свойством прямоугольника, которое гласит, что диагонали прямоугольника равны по длине и делят друг друга пополам.

Пусть точка \(О\) является точкой пересечения диагоналей \(AC\) и \(BD\) прямоугольника \(ABCD\). Расстояние от точки \(O\) до сторон прямоугольника составляет 14 см и 10 см.

Пусть \(AO = BO = 14\) см и \(DO = CO = 10\) см.

Мы можем разбить прямоугольник \(ABCD\) на четыре треугольника, используя диагонали \(AC\) и \(BD\). Обозначим размеры этих треугольников: \(∆AOB\), \(∆BOC\), \(∆COD\) и \(∆DOA\).

Из свойства прямоугольника мы знаем, что \(AO = BO\) и \(DO = CO\). Мы также знаем, что \(∆AOB\) и \(∆BOC\) являются прямоугольными треугольниками.

Рассмотрим треугольник \(∆AOB\). У него две известные стороны: \(AO = BO = 14\) см и один известный угол \(∠AOB = 90^\circ\). Мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти третью сторону треугольника \(AB\).

Используя теорему Пифагора, мы можем записать:
\[AB^2 = AO^2 + BO^2\]
\[AB^2 = 14^2 + 14^2\]
\[AB^2 = 2 \times 14^2\]
\[AB^2 = 392\]
\[AB = \sqrt{392}\]
\[AB = 14\sqrt{2}\]

То есть сторона \(AB\) равна \(14\sqrt{2}\) см.

Аналогичным образом мы можем рассмотреть треугольник \(∆BOC\) и найти сторону \(BC\):
\[BC^2 = BO^2 + CO^2\]
\[BC^2 = 14^2 + 10^2\]
\[BC^2 = 196 + 100\]
\[BC^2 = 296\]
\[BC = \sqrt{296}\]
\[BC = 2\sqrt{74}\]

То есть сторона \(BC\) равна \(2\sqrt{74}\) см.

Теперь мы можем найти площадь прямоугольника \(ABCD\) умножением длин его сторон:
\[Площадь = AB \times BC\]
\[Площадь = 14\sqrt{2} \times 2\sqrt{74}\]
\[Площадь = 28\sqrt{148}\]
\[Площадь = 28 \times 2\sqrt{37}\]
\[Площадь = 56\sqrt{37}\]

Таким образом, площадь прямоугольника \(ABCD\) равна \(56\sqrt{37}\) квадратных сантиметров.