Найдите значение синуса острого угла между диагоналями четырехугольника ABCD с вершинами A (-1; 1), B (3; 3), C(2

Anton

15

Чтобы найти значение синуса острого угла между диагоналями четырехугольника ABCD, нам нужно сначала определить длины этих диагоналей, а затем использовать формулу для нахождения значения синуса угла между векторами, заданными этими диагоналями.

Для начала, найдем длину диагонали AC. Для этого используем формулу расстояния между двумя точками в прямоугольной системе координат. Формула имеет вид:

\[d = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}\]

где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты двух точек. В нашем случае точки A и C имеют координаты (-1, 1) и (2, -2), соответственно:

\[d_{AC} = \sqrt{{(2 - (-1))^2 + (-2 - 1)^2}}\]

Вычислив это значение, получим:

\[d_{AC} = \sqrt{{3^2 + (-3)^2}} = \sqrt{{9 + 9}} = \sqrt{{18}}\]

Аналогичным образом, найдем длину диагонали BD. Точки B и D имеют координаты (3, 3) и (-2, -2), соответственно:

\[d_{BD} = \sqrt{{(-2 - 3)^2 + (-2 - 3)^2}}\]

Вычислив это значение, получим:

\[d_{BD} = \sqrt{{(-5)^2 + (-5)^2}} = \sqrt{{25 + 25}} = \sqrt{{50}}\]

Теперь у нас есть длины диагоналей: \(d_{AC} = \sqrt{{18}}\) и \(d_{BD} = \sqrt{{50}}\).

Далее, используя формулу для вычисления синуса угла между векторами, мы имеем:

\[\sin(\theta) = \frac{{|\mathbf{AB} \times \mathbf{CD}|}}{{|\mathbf{AB}| \cdot |\mathbf{CD}|}}\]

где \(\mathbf{AB}\) и \(\mathbf{CD}\) - вектора, заданные диагоналями AB и CD, а \(\theta\) - острый угол между этими диагоналями.

В нашем случае, мы уже знаем длины диагоналей: \(|\mathbf{AB}| = d_{AC} = \sqrt{{18}}\) и \(|\mathbf{CD}| = d_{BD} = \sqrt{{50}}\).

Остается найти векторное произведение \(\mathbf{AB} \times \mathbf{CD}\). Для этого используем формулу для вычисления векторного произведения в двумерном пространстве:

\[\mathbf{AB} \times \mathbf{CD} = (x_1y_2 - x_2y_1)\mathbf{k}\]

где \(x_1, y_1\) и \(x_2, y_2\) - координаты начальной и конечной точек векторов \(\mathbf{AB}\) и \(\mathbf{CD}\), а \(\mathbf{k}\) - единичный вектор, выходящий из плоскости.

Для нашего четырехугольника, мы можем представить векторы \(\mathbf{AB}\) и \(\mathbf{CD}\) следующим образом:

\[\mathbf{AB} = \begin{pmatrix} (3 - (-1)) \\ (3 - 1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}\]
\[\mathbf{CD} = \begin{pmatrix} (2 - (-2)) \\ (-2 - 3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -5 \end{pmatrix}\]

Теперь можем вычислить векторное произведение:

\[\mathbf{AB} \times \mathbf{CD} = (4 \cdot (-5) - 2 \cdot 4)\mathbf{k}\]
\[\mathbf{AB} \times \mathbf{CD} = (-20 - 8)\mathbf{k} = -28\mathbf{k}\]

Теперь мы знаем числовое значение векторного произведения: \(\mathbf{AB} \times \mathbf{CD} = -28\mathbf{k}\).

Остается подставить все в формулу для вычисления синуса:

\[\sin(\theta) = \frac{{|-28\mathbf{k}|}}{{\sqrt{{18}} \cdot \sqrt{{50}}}}\]

Поскольку единичный вектор \(\mathbf{k}\) имеет длину 1, то мы можем записать:

\[\sin(\theta) = \frac{{|-28|}}{{\sqrt{{18}} \cdot \sqrt{{50}}}} = \frac{{28}}{{\sqrt{{18}} \cdot \sqrt{{50}}}}\]

Это числовое значение синуса острого угла между диагоналями четырехугольника ABCD. Ответ составляет около 0.548 (округленно для удобства).

Мы получили детальное объяснение с пошаговым решением, чтобы ответ был понятен школьнику.