Найдите значение синуса тупого угла ромба, диагонали которого равны 12

Kosmicheskaya_Charodeyka

1

Чтобы найти значение синуса тупого угла ромба, нам понадобится знание о соотношении между диагоналями ромба и его углами.

Для ромба с диагоналями \(d_1\) и \(d_2\) можно использовать следующую формулу:

\[\sin(\theta) = \sqrt{1 - \left(\frac{d_2}{d_1}\right)^2}\]

В данном случае нам даны диагонали ромба, которые равны 12. Плоскость ромба делится диагоналями на четыре равных треугольника. Так как у ромба тупой угол, один из треугольников будет прямоугольным.

Чтобы найти значение синуса тупого угла, мы можем рассмотреть один из прямоугольных треугольников. Давайте обозначим его стороны как \(a\), \(b\) и \(c\), где \(c\) - это длина одной из диагоналей ромба, в данном случае 12.

Мы знаем, что гипотенуза треугольника имеет длину 12. Пусть \(a\) будет катетом, расположенным рядом с тупым углом, и \(b\) - другим катетом. Мы можем использовать теорему Пифагора \((a^2 + b^2 = c^2)\), чтобы найти длины сторон.

Так как ромб имеет равные стороны, \(a\) и \(b\) будут равны, и мы можем записать уравнение:

\[a^2 + a^2 = 12^2\]

\[2a^2 = 144\]

\[a^2 = 72\]

\[a = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}\]

Таким образом, длина \(a\) и \(b\) равна \(6\sqrt{2}\).

Теперь у нас есть значения длин всех сторон прямоугольного треугольника. Мы можем использовать формулу для синуса угла:

\[\sin(\theta) = \sqrt{1 - \left(\frac{b}{c}\right)^2}\]

\[\sin(\theta) = \sqrt{1 - \left(\frac{6\sqrt{2}}{12}\right)^2}\]

\[\sin(\theta) = \sqrt{1 - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2}\]

\[\sin(\theta) = \sqrt{1 - \frac{2}{4}}\]

\[\sin(\theta) = \sqrt{1 - \frac{1}{2}}\]

\[\sin(\theta) = \sqrt{\frac{1}{2}}\]

\[\sin(\theta) = \frac{1}{\sqrt{2}}\]

Извлекая квадратный корень из \(\frac{1}{2}\), мы получаем:

\[\sin(\theta) = \frac{\sqrt{2}}{2}\]

Таким образом, значение синуса тупого угла ромба с диагоналями, равными 12, равно \(\frac{\sqrt{2}}{2}\).