Найдите значение синуса угла между диагоналями четырехугольника с вершинами a(-2; 2) b(-3; 1) c(7; 7) и d(3

Владислав

31

Для нахождения значения синуса угла между диагоналями четырехугольника с вершинами a(-2; 2), b(-3; 1), c(7; 7) и d(3; -4), сначала нам нужно найти координаты точек пересечения диагоналей.

Шаг 1: Найдем координаты середины диагоналей.
Диагонали четырехугольника делятся пополам в точке их пересечения. Используем формулу для нахождения середины отрезка:

\(x_m = \frac{x_1 + x_2}{2}\), \(y_m = \frac{y_1 + y_2}{2}\)

Для первой диагонали соединяем точки a и c:
\(x_1 = -2\), \(y_1 = 2\), \(x_2 = 7\), \(y_2 = 7\)

\(x_m = \frac{-2 + 7}{2} = \frac{5}{2} = 2.5\)
\(y_m = \frac{2 + 7}{2} = \frac{9}{2} = 4.5\)

Таким образом, координаты середины первой диагонали равны (2.5; 4.5).

Шаг 2: Найдем координаты середины второй диагонали.
Для второй диагонали соединяем точки b и d:
\(x_1 = -3\), \(y_1 = 1\), \(x_2 = 3\), \(y_2 = -4\)

\(x_m = \frac{-3 + 3}{2} = 0\)
\(y_m = \frac{1 + (-4)}{2} = \frac{-3}{2} = -1.5\)

Таким образом, координаты середины второй диагонали равны (0; -1.5).

Шаг 3: Найдем вектора, которые задают диагонали четырехугольника.
Для первой диагонали AC:
\(x_1 = -2\), \(y_1 = 2\), \(x_2 = 7\), \(y_2 = 7\)
\(AC = (7 - (-2); 7 - 2) = (9; 5)\)

Для второй диагонали BD:
\(x_1 = -3\), \(y_1 = 1\), \(x_2 = 3\), \(y_2 = -4\)
\(BD = (3 - (-3); -4 - 1) = (6; -5)\)

Шаг 4: Найдем значение синуса угла между векторами.
Для нахождения синуса угла между векторами можно воспользоваться формулой:

\(\sin(\theta) = \frac{{\text{{произведение векторов}}}}{{\text{{произведение их модулей}}}}\)

Где произведение векторов равно \(AC \cdot BD = 9 \cdot 6 + 5 \cdot (-5) = 54 - 25 = 29\),
а произведение их модулей равно \(\lVert AC \rVert \cdot \lVert BD \rVert\).

Для вычисления модуля вектора, используем формулу:

\(\lVert v \rVert = \sqrt{x^2 + y^2}\)

Для вектора AC:
\(\lVert AC \rVert = \sqrt{9^2 + 5^2} = \sqrt{81 + 25} = \sqrt{106}\)

Для вектора BD:
\(\lVert BD \rVert = \sqrt{6^2 + (-5)^2} = \sqrt{36 + 25} = \sqrt{61}\)

Теперь можем вычислить синус угла \(\theta\):

\(\sin(\theta) = \frac{29}{{\sqrt{106} \cdot \sqrt{61}}}\)

Применим к этому выражению преобразование:

\(\sin(\theta) \approx 0.4536\)

Таким образом, значение синуса угла между диагоналями четырехугольника примерно равно 0.4536.