Найдите значение синуса угла ϕ между прямой AM и плоскостью BB1D1D в кубе ABCDA1B1C1 с ребром длиной 1 ед. изм., если

Зоя

1

Для начала, давайте разберемся с геометрической ситуацией, описанной в задаче. У нас есть куб ABCDA1B1C1 с ребром длиной 1 ед. изм. Известно, что точка M находится на ребре A1D1 так, что A1M:MD1=1:3.

Теперь, чтобы найти значение синуса угла ϕ между прямой AM и плоскостью BB1D1D, нам необходимо выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Найдем векторы \(\vec{AM}\) и \(\vec{D1B}\).
Для этого воспользуемся координатами точек A, M и D1.

Первоначально, координаты точки A можно определить как (0, 0, 0), так как это начало координат в кубе.

Координаты точки M могут быть найдены следующим образом. Мы знаем, что A1M:MD1=1:3. Таким образом, можно сказать, что M находится на линии A1D1, которая соединяет точки A1 и D1. Так как расстояние от A1 до M в 3 раза больше, чем расстояние от M до D1, можно сказать, что координаты точки M состоят из 25% A1 и 75% D1 (так как 1:3 = 25%:75%). Для нахождения координат точки M нужно умножить координаты точки D1 на 0.75, так как эта точка на 75% ближе к D1, чем к A1.

Таким образом, координаты точки M будут (0, 0, 0.75).

Координаты точки D1 уже определены как (0, 0.25, 1), так как эта точка находится на ребре A1D1, и мы можем предположить, что A1D1 параллельна оси Y.

Теперь, чтобы найти вектор \(\vec{AM}\), просто вычтем координаты точки A из координат точки M:

\(\vec{AM} = (0, 0, 0.75) - (0, 0, 0) = (0, 0, 0.75)\).

Аналогичным образом, чтобы найти вектор \(\vec{D1B}\), просто вычтем координаты точки D1 из координат точки B1:

\(\vec{D1B} = (0, 0.25, 1) - (0, 0, 1) = (0, 0.25, 0)\).

Шаг 2: Вычислим скалярное произведение векторов \(\vec{AM}\) и \(\vec{D1B}\).
Для этого умножим соответствующие компоненты векторов и сложим результаты:

\(\vec{AM} \cdot \vec{D1B} = 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0.25 + 0.75 \cdot 0 = 0\).

Таким образом, скалярное произведение векторов \(\vec{AM}\) и \(\vec{D1B}\) равно 0.

Шаг 3: Найдем длины векторов \(\vec{AM}\) и \(\vec{D1B}\).
Для этого воспользуемся формулой для вычисления длины вектора:

\(\left \| \vec{AM} \right \| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 0.75^2} = 0.75\).

\(\left \| \vec{D1B} \right \| = \sqrt{0^2 + 0.25^2 + 0^2} = 0.25\).

Шаг 4: Найдем значение синуса угла ϕ.
Для этого воспользуемся формулой для вычисления синуса угла между двумя векторами:

\(\sin(\phi) = \frac{{\vec{AM} \cdot \vec{D1B}}}{{\left \| \vec{AM} \right \| \cdot \left \| \vec{D1B} \right \|}}\).

Подставим найденные значения:

\(\sin(\phi) = \frac{{0}}{{0.75 \cdot 0.25}} = 0\).

Таким образом, значение синуса угла ϕ между прямой AM и плоскостью BB1D1D равно 0.

Надеюсь, данный подробный ответ и пошаговое решение помогли вам понять и решить данную задачу. Если у вас возникнут какие-либо дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать.