Найдите значение угла между прямыми dc1 в кубе abcda1b1c1d1, если известно, что длина ребра куба равна 3 корня

Chaynik

29

Для решения этой задачи нам нужно использовать понятие векторов. Наши прямые расположены на гранях куба, поэтому мы можем использовать векторы, направленные вдоль этих граней, чтобы найти искомый угол.

Для начала вспомним, что у куба все грани являются квадратами, а все его ребра имеют одинаковую длину. Обозначим длину ребра куба как \(a\). В данной задаче известно, что \(a = 3\sqrt{2}\) (так как \(a = 3\sqrt{2}\) по условию задачи).

Итак, мы имеем куб с ребром длиной \(a = 3\sqrt{2}\). Для удобства, давайте назовем вершины куба следующим образом:
A(-\(a/2\), \(a/2\), \(a/2\))
B(\(a/2\), \(a/2\), \(a/2\))
C(\(a/2\), -\(a/2\), \(a/2\))
D(-\(a/2\), -\(a/2\), \(a/2\))
A1(-\(a/2\), \(a/2\), -\(a/2\))
B1(\(a/2\), \(a/2\), -\(a/2\))
C1(\(a/2\), -\(a/2\), -\(a/2\))
D1(-\(a/2\), -\(a/2\), -\(a/2\))

Теперь перейдем к поиску значения угла между прямыми DC1.

Для начала, найдем направляющие векторы прямых DC1. Вектор, направленный от точки D к точке C1 будет равен:
\(\vec{v_{1}} = \overrightarrow{C1D} = \begin{pmatrix} \frac{a}{2} - \left(-\frac{a}{2}\right) \\ -\frac{a}{2} - \left(-\frac{a}{2}\right) \\ -\frac{a}{2} - \left(\frac{a}{2}\right) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \\ 0 \\ -a \end{pmatrix}\)

Аналогично, вектор, направленный от точки D к точке C будет равен:
\(\vec{v_{2}} = \overrightarrow{CD} = \begin{pmatrix} \frac{a}{2} - \left(-\frac{a}{2}\right) \\ \left(-\frac{a}{2}\right) - \frac{a}{2} \\ \frac{a}{2} - \frac{a}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \\ -a \\ 0 \end{pmatrix}\)

Теперь, для нахождения угла между этими прямыми, мы используем следующую формулу для косинуса угла между двумя векторами:
\(\cos(\theta) = \frac{\vec{v_{1}} \cdot \vec{v_{2}}}{\|\vec{v_{1}}\| \cdot \|\vec{v_{2}}\|}\)

где \(\vec{v_{1}} \cdot \vec{v_{2}}\) - скалярное произведение векторов \(\vec{v_{1}}\) и \(\vec{v_{2}}\),
\(\|\vec{v_{1}}\|\) и \(\|\vec{v_{2}}\|\) - длины векторов \(\vec{v_{1}}\) и \(\vec{v_{2}}\).

Вычислим числитель и знаменатель этой формулы:

\(\vec{v_{1}} \cdot \vec{v_{2}} = \begin{pmatrix} a \\ 0 \\ -a \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a \\ -a \\ 0 \end{pmatrix} = a \cdot a + 0 \cdot (-a) + (-a) \cdot 0 = a^2\)

\(\|\vec{v_{1}}\| = \sqrt{a^2 + 0^2 + (-a)^2} = \sqrt{2a^2} = \sqrt{2} \cdot a = \sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2} = 6\)

\(\|\vec{v_{2}}\| = \sqrt{a^2 + (-a)^2 + 0^2} = \sqrt{2a^2} = \sqrt{2} \cdot a = \sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2} = 6\)

Теперь, подставим все значения в формулу для косинуса угла:

\(\cos(\theta) = \frac{a^2}{6 \cdot 6} = \frac{{(3\sqrt{2})^2}}{{6 \cdot 6}} = \frac{{9 \cdot 2}}{{36}} = \frac{1}{2}\)

Чтобы найти сам угол \(\theta\), возьмем обратный косинус (арккосинус) от полученного значения:

\(\theta = \arccos\left(\frac{1}{2}\right)\)

Теперь, оценим значение угла (в радианах) приближенно:

\(\theta \approx 60^\circ\)

Итак, ответ: значение угла между прямыми DC1 в кубе abcda1b1c1d1 примерно равно 60 градусам.