Найдите значения площади боковой и полной поверхностей усеченной четырехугольной пирамиды с праивльными основаниями

Сэр

53

Для решения этой задачи нам понадобится использовать некоторые геометрические формулы для усеченной четырехугольной пирамиды с правильными основаниями.

Для начала, давайте найдем высоту пирамиды. Обозначим высоту пирамиды как \(h\). Из треугольника, образованного стороной пирамиды, апофемой и прямым сечением пирамиды, можем применить теорему Пифагора:

\[h^2 = \text{(апофема)}^2 - \left(\frac{\text{сторона основания}}{2}\right)^2\]
\[h^2 = 6^2 - \left(\frac{10}{2}\right)^2\]
\[h^2 = 36 - 25\]
\[h^2 = 11\]
\[h = \sqrt{11}\]

Теперь, найдем площадь боковой поверхности пирамиды. Площадь боковой поверхности любой пирамиды можно найти по формуле:

\[S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \times \text{периметр основания} \times \text{высота}\]

Так как у нас правильное основание, периметр основания равен 4 раза длине стороны основания \(P_{\text{осн}} = 4 \times \text{сторона основания}\). Подставим известные значения в формулу:

\[S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \times (4 \times 10 + 4 \times 16) \times \sqrt{11}\]
\[S_{\text{бок}} = 2 \times (40 + 64) \times \sqrt{11}\]
\[S_{\text{бок}} = 2 \times 104 \times \sqrt{11}\]
\[S_{\text{бок}} = 208 \sqrt{11}\]

Таким образом, площадь боковой поверхности усеченной четырехугольной пирамиды составляет \(208 \sqrt{11}\) квадратных дециметров.

Чтобы найти полную площадь поверхности пирамиды, нужно прибавить площадь основания пирамиды. Площадь основания пирамиды с правильным четырехугольником можно найти по формуле:

\[S_{\text{осн}} = \text{периметр основания} \times \text{апофема}\]

Снова используем периметр основания \(P_{\text{осн}} = 4 \times \text{сторона основания}\):

\[S_{\text{осн}} = 4 \times \text{сторона основания} \times \text{апофема}\]
\[S_{\text{осн}} = 4 \times 10 \times 6\]
\[S_{\text{осн}} = 240\]

Теперь найдем полную площадь поверхности:

\[S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + S_{\text{осн}}\]
\[S_{\text{полн}} = 208 \sqrt{11} + 240\]

Таким образом, площадь полной поверхности усеченной четырехугольной пирамиды составляет \(208 \sqrt{11} + 240\) квадратных дециметров.