Найти длину высоты прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла, если эта высота разбивает

Яблоко_4210

18

Конечно! Для решения этой задачи, мы будем использовать теорему Пифагора и свойства подобных треугольников.

Когда говорят, что "высота разбивает гипотенузу на два отрезка длиной 12," это означает, что отрезки гипотенузы, которые образуются после пересечения высоты, имеют длину 12.

Итак, пусть \(h\) - длина высоты, \(a\) и \(b\) - отрезки гипотенузы, которые образуются после пересечения высоты.

Мы знаем, что \(a + b = 12\) и хотим найти \(h\).

Во-первых, давайте воспользуемся теоремой Пифагора, которая утверждает, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

\[
a^2 + h^2 = c^2 \quad \text{(1)}
\]

где \(c\) - гипотенуза треугольника.

Также, применив теорему Пифагора ко второму треугольнику, образованному высотой и отрезком \(b\), получим:

\[
b^2 + h^2 = d^2 \quad \text{(2)}
\]

где \(d\) - другая сторона треугольника.

Теперь мы можем составить систему уравнений из уравнений (1) и (2):

\[
\begin{align*}
a^2 + h^2 &= c^2 \\
b^2 + h^2 &= d^2 \\
\end{align*}
\]

Мы знаем, что \(a + b = 12\), поэтому можем выразить один из катетов через другой:

\(a = 12 - b\)

Теперь мы можем заменить значение \(a\) в первом уравнении:

\((12 - b)^2 + h^2 = c^2 \quad \text{(3)}\)

Используя тождество \(12^2 - 2 \cdot 12 \cdot b + b^2 = 144 - 24b + b^2\), упростим уравнение (3) до:

\(144 - 24b + b^2 + h^2 = c^2 \quad \text{(4)}\)

Теперь выразим значение \(c^2\) через \(d^2\) и \(h^2\) из уравнения (2):

\(b^2 + h^2 = d^2 \quad \text{(5)}\)

Складываем уравнения (4) и (5), чтобы избавиться от \(h^2\):

\(144 - 24b + b^2 + b^2 + h^2 + h^2 = c^2 + d^2 \quad \text{(6)}\)

Аналогично, складываем уравнения (1) и (5):

\(a^2 + h^2 + b^2 + h^2 = c^2 + d^2 \quad \text{(7)}\)

Так как \(a + b = 12\), можем выразить \(a\) через \(b\):

\(a = 12 - b\)

Подставляем это значение в уравнение (7):

\((12 - b)^2 + h^2 + b^2 + h^2 = c^2 + d^2 \quad \text{(8)}\)

Теперь мы имеем два уравнения (6) и (8) с одинаковыми правыми частями (\(c^2 + d^2\)):

\(144 - 24b + b^2 + b^2 + h^2 + h^2 = (12 - b)^2 + h^2 + b^2 + h^2\)

Упрощаем:

\(144 - 24b + 2h^2 = 144 - 24b + 2b^2\)

Где мы можем сократить \(144 - 24b\) с двух сторон:

\(2h^2 = 2b^2\)

Деля оба члена на 2, получаем:

\(h^2 = b^2\)

Возводим обе части уравнения в квадрат:

\(h = b\)

Итак, мы получили, что длина высоты равна длине отрезка \(b\). Поскольку нам дано, что \(b = 12\), ответом является \(h = 12\).

Надеюсь, это подробное решение помогло разобраться в задаче. Если у вас есть еще какие-либо вопросы, пожалуйста, дайте знать!