Найти индукцию магнитного поля в точке, в которой расположены два параллельных прямолинейных проводника большой длины

Сладкий_Ангел

30

Для решения данной задачи используется закон Био-Савара-Лапласа, который позволяет найти магнитное поле, создаваемое током, проходящим через проводник.

Закон Био-Савара-Лапласа утверждает, что магнитное поле \(d\mathbf{B}\), создаваемое элементом проводника \(d\mathbf{l}\), прямо пропорционально току \(I\), проходящему через этот элемент, и обратно пропорционально квадрату расстояния \(r\) от элемента до точки, в которой ищется поле:

\[d\mathbf{B} = \frac{{\mu_0}}{{4\pi}} \frac{{I \, d\mathbf{l} \times \mathbf{r}}}{{r^3}}\]

где \(\mu_0\) - магнитная постоянная (\(\mu_0 \approx 4\pi \times 10^{-7} \, \text{Тл/А}\)), \(d\mathbf{l}\) - элемент длины проводника, на который направлен ток, \(\times\) - векторное произведение, \(\mathbf{r}\) - радиус-вектор от элемента проводника до точки, в которой ищется поле.

Для нахождения индукции магнитного поля в точке, где расположены два параллельных проводника, нужно сложить векторные суммы полей, создаваемых каждым проводником.

Предположим, что проводник A находится на расстоянии \(d\) от точки, в которой мы ищем поле, а проводник B находится на расстоянии \(r_2\) от этой точки. Выберем систему координат так, чтобы \(r_2 > d\). Также будем считать, что проводники бесконечно длинны, поэтому можно рассмотреть малые отрезки проводников, каждый длиной \(dl\), и суммировать поля, создаваемые этими малыми отрезками.

Индукция магнитного поля \(d\mathbf{B}_A\), создаваемая элементом проводника \(dl\) на расстоянии \(d\) от точки, может быть найдена с использованием закона Био-Савара-Лапласа:

\[d\mathbf{B}_A = \frac{{\mu_0}}{{4\pi}} \frac{{I_1 \cdot dl \times \mathbf{r}_1}}{{r_1^3}}\]

где \(I_1\) - ток, проходящий через элемент проводника \(dl\), \(\mathbf{r}_1\) - радиус-вектор от элемента проводника \(dl\) до точки, в которой ищется поле.

Аналогично, индукция магнитного поля \(d\mathbf{B}_B\), создаваемая элементом проводника \(dl\) на расстоянии \(r_2\) от точки, может быть найдена по формуле:

\[d\mathbf{B}_B = \frac{{\mu_0}}{{4\pi}} \frac{{I_2 \cdot dl \times \mathbf{r}_2}}{{r_2^3}}\]

где \(I_2\) - ток, проходящий через элемент проводника \(dl\), \(\mathbf{r}_2\) - радиус-вектор от элемента проводника \(dl\) до точки, в которой ищется поле.

Теперь сложим векторы \(d\mathbf{B}_A\) и \(d\mathbf{B}_B\) для нахождения общего магнитного поля в точке. Так как проводники параллельны, элементы проводников находятся на одинаковых расстояниях от точки, и их поля имеют одинаковую величину и направление, поэтому векторное сложение будет проходить только по величине:

\[\mathbf{B} = \frac{{\mu_0}}{{4\pi}} \left(\frac{{I_1}}{{r_1^3}} + \frac{{I_2}}{{r_2^3}}\right) \cdot dl \times \mathbf{r}\]

где \(\mathbf{B}\) - общая индукция магнитного поля в точке, \(dl\) - элементарный отрезок проводника, а \(\mathbf{r}\) - радиус-вектор от элемента проводника до точки, в которой ищется поле.

Но так как оба проводника имеют большую длину, интегрирование по всей длине проводnikов будет затруднительно в данном случае. При этом, можно заметить, что поле от каждого проводника от точки симметрично. Если считать длину проводника большой, а расстояния между проводниками малыми, то величина магнитного поля в центре между ними будет равна сумме магнитных полей, создаваемых каждым проводником по-отдельности.

Поэтому, в точке между двумя параллельными проводниками индукция магнитного поля будет:

\[\mathbf{B} = \frac{{\mu_0}}{{4\pi}} \left(\frac{{I_1}}{{d^3}} + \frac{{I_2}}{{(d+r_2)^3}}\right) \cdot dl \times \mathbf{r}\]

Где \(I_1\) и \(I_2\) - токи, проходящие через каждый проводник, \(d\) - расстояние от проводника A до точки, \(r_2\) - расстояние от проводника B до указанной точки, \(dl\) - дифференциал длины проводника, а \(\mathbf{r}\) - радиус-вектор от элемента проводника до точки, в которой ищется поле.

Надеюсь, данное пошаговое объяснение поможет понять, как найти индукцию магнитного поля в точке, где находятся два параллельных прямолинейных проводника.