Найти информацию о параллелепипеде с помощью данной информации о координатах его точек. Необходимо найти: 1) длину

Ariana_2789

69

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать математические концепции и формулы. Давайте рассмотрим каждый пункт по очереди:

1) По заданным координатам точек \(a_1(3; 5; 4)\) и \(a_2(8; 7; 4)\), мы можем найти длину ребра \(a_1a_2\) с помощью формулы для нахождения расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:

\[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \]

Рассчитаем:

\[ d = \sqrt{(8 - 3)^2 + (7 - 5)^2 + (4 - 4)^2} = \sqrt{25 + 4 + 0} = \sqrt{29} \]

Таким образом, длина ребра \(a_1a_2\) равна \(\sqrt{29}\).

2) Чтобы найти угол между ребрами \(a_1a_2\) и \(a_1a_3\), мы можем воспользоваться скалярным произведением векторов. Скалярное произведение двух векторов \(v\) и \(u\) определяется следующей формулой:

\[ v \cdot u = |v| \cdot |u| \cdot \cos{\theta} \]

Где \(\theta\) - искомый угол между векторами.

Рассчитаем скалярное произведение \(\overrightarrow{a_1a_2} \cdot \overrightarrow{a_1a_3}\):

\[ \overrightarrow{a_1a_2} \cdot \overrightarrow{a_1a_3} = (8 - 3) \cdot (5 - 3) + (7 - 5) \cdot (10 - 5) + (4 - 4) \cdot (4 - 4) = 5 \cdot 2 + 2 \cdot 5 + 0 = 20 \]

Теперь найдем длины векторов \(\overrightarrow{a_1a_2}\) и \(\overrightarrow{a_1a_3}\):

\[ |\overrightarrow{a_1a_2}| = \sqrt{(8 - 3)^2 + (7 - 5)^2 + (4 - 4)^2} = \sqrt{25 + 4 + 0} = \sqrt{29} \]
\[ |\overrightarrow{a_1a_3}| = \sqrt{(5 - 3)^2 + (10 - 5)^2 + (4 - 4)^2} = \sqrt{4 + 25 + 0} = \sqrt{29} \]

Теперь подставим полученные значения в формулу:

\[ 20 = \sqrt{29} \cdot \sqrt{29} \cdot \cos{\theta} \]
\[ 20 = 29 \cdot \cos{\theta} \]
\[ \cos{\theta} = \frac{20}{29} \]
\[ \theta = \arccos{\left(\frac{20}{29}\right)} \approx 0.771 \, \text{радиан} \]

Таким образом, угол между ребрами \(a_1a_2\) и \(a_1a_3\) составляет приблизительно 0.771 радиан.

3) Чтобы найти площадь грани, содержащей точки \(a_1\), \(a_2\) и \(a_3\), мы можем воспользоваться формулой для вычисления площади треугольника, образованного тремя векторами:

\[ S = \frac{1}{2}|\overrightarrow{a_1a_2} \times \overrightarrow{a_1a_3}| \]

Где \(\overrightarrow{a_1a_2}\) и \(\overrightarrow{a_1a_3}\) - два вектора, образующих грань.

Вычислим:

\[ \overrightarrow{a_1a_2} \times \overrightarrow{a_1a_3} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 5 & 2 & 0 \\ 10 & 5 & 0 \end{vmatrix} = -10i + 0j + 15k \]

\[ |\overrightarrow{a_1a_2} \times \overrightarrow{a_1a_3}| = \sqrt{(-10)^2 + 0^2 + 15^2} = \sqrt{325} \]

Теперь подставим значение в формулу:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{325} = \frac{\sqrt{325}}{2} \]

Таким образом, площадь грани, содержащей точки \(a_1\), \(a_2\) и \(a_3\), равна \(\frac{\sqrt{325}}{2}\).

4) Чтобы найти объем параллелепипеда, нам потребуется вычислить смешанное произведение трех векторов. Смешанное произведение трех векторов \(\overrightarrow{u}\), \(\overrightarrow{v}\) и \(\overrightarrow{w}\) определяется следующим образом:

\[ (\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v}) \cdot \overrightarrow{w} \]

Вычислим смешанное произведение \(\overrightarrow{a_1a_2} \times \overrightarrow{a_1a_3}\) и найдем его скалярное произведение с вектором \(\overrightarrow{a_1a_3}\):

\[ (\overrightarrow{a_1a_2} \times \overrightarrow{a_1a_3}) \cdot \overrightarrow{a_1a_3} = -10 \cdot 5 + 0 \cdot 2 + 15 \cdot 0 = -50 \]

Теперь найдем модуль этого значения:

\[ |(\overrightarrow{a_1a_2} \times \overrightarrow{a_1a_3}) \cdot \overrightarrow{a_1a_3}| = |-50| = 50 \]

Таким образом, объем параллелепипеда равен 50.

5) Чтобы найти уравнение прямой, проходящей через точку \(a_1\) вдоль диагонали параллелепипеда, мы можем воспользоваться параметрическим представлением прямой. Уравнение прямой имеет следующий вид:

\[ \frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c} \]

Где \((x_0, y_0, z_0)\) - координаты точки \(a_1\) и \(a\), \(b\), \(c\) - коэффициенты, определяющие направление прямой.

Для нахождения коэффициентов \(a\), \(b\) и \(c\), мы можем воспользоваться вектором, направленным вдоль диагонали параллелепипеда. Вектор диагонали вычисляется как разность координат двух точек, лежащих на диагонали.

\[ \overrightarrow{d} = \overrightarrow{a_1a_4} = (4 - 3)i + (0)j + (0)k = i \]

Теперь используем параметрическое уравнение прямой:

\[ \frac{x - 3}{1} = \frac{y - 5}{0} = \frac{z - 4}{0} \]

Заметим, что коэффициент \(b\) равен нулю, значит, уравнение для \(y\) не имеет значения. Упростим уравнение:

\[ x - 3 = 0 \]
\[ x = 3 \]

Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точку \(a_1\) вдоль диагонали параллелепипеда, можно записать как \(x = 3\).

6) Чтобы найти уравнение плоскости \(a_1a_2a_3\), мы можем воспользоваться векторным произведением двух векторов, лежащих на плоскости. Уравнение плоскости имеет вид:

\[ A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0 \]

Где \((A, B, C)\) - нормальный вектор, определяющий направление плоскости, а \((x_0, y_0, z_0)\) - координаты одной из точек на плоскости.

Найдем нормальный вектор, используя векторное произведение \(\overrightarrow{a_1a_2} \times \overrightarrow{a_1a_3}\):

\[ \overrightarrow{a_1a_2} \times \overrightarrow{a_1a_3} = -10i + 0j + 15k \]

Таким образом, нормальный вектор имеет координаты \((-10, 0, 15)\).

Выберем точку \(a_1\) как точку на плоскости. Тогда координаты этой точки равны \((3, 5, 4)\).

Подставим полученные значения в уравнение плоскости:

\[ -10(x - 3) + 0(y - 5) + 15(z - 4) = 0 \]
\[ -10x + 30 + 15z - 60 = 0 \]
\[ -10x + 15z - 30 = 0 \]

Таким образом, уравнение плоскости \(a_1a_2a_3\) может быть записано как \(-10x + 15z - 30 = 0\).

7) Чтобы найти угол между ребром \(a_1a_4\) и гранью, содержащей точки \(a_1\), \(a_2\) и \(a_3\), мы можем использовать скалярное произведение двух векторов. Выберем направляющие векторы ребра \(a_1a_4\) и нормали грани.

Направляющий вектор ребра \(a_1a_4\) вычисляется как разность координат точек \(a_1\) и \(a_4\):

\[ \overrightarrow{a_1a_4} = (4 - 3)i + (0)j + (0)k = i \]

Таким образом, направляющий вектор равен \(i\).

Нормальные векторы грани мы уже рассчитали ранее и получили, что он равен \((-10, 0, 15)\).

Теперь найдем скалярное произведение между этими векторами:

\[ \overrightarrow{a_1a_4} \cdot (\overrightarrow{a_1a_2} \times \overrightarrow{a_1a_3}) = i \cdot (-10i + 0j + 15k) = -10 \]

Теперь найдем модули векторов:

\[ |\overrightarrow{a_1a_4}| = |i| = 1 \]
\[ |\overrightarrow{a_1a_2} \times \overrightarrow{a_1a_3}| = \sqrt{325} \]

Подставим полученные значения в формулу:

\[ -10 = 1 \cdot \sqrt{325} \cdot \cos{\theta} \]
\[ \cos{\theta} = \frac{-10}{\sqrt{325}} \]
\[ \theta = \arccos{\left(\frac{-10}{\sqrt{325}}\right)} \approx 2.999 \, \text{радиан} \]

Таким образом, угол между ребром \(a_1a_4\) и гранью, содержащей точки \(a_1\), \(a_2\) и \(a_3\), составляет приблизительно 2.999 радиан.

8) Чтобы найти расстояние от точки \(a_4\) до плоскости \(a_1a_2a_3\), мы можем использовать формулу для расстояния от точки до плоскости. Формула выглядит следующим образом:

\[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \]

Где \((A, B, C)\) - коэффициенты, определяющие нормальный вектор плоскости, а \((x_0, y_0, z_0)\) - координаты точки, до которой мы ищем расстояние.

В нашем случае, уравнение плоскости \(a_1a_2a_3\) равно \(-10x + 15z - 30 = 0\).

Подставим координаты точки \(a_4(4, 0, 0)\) в формулу:

\[ d = \frac{|(-10)(4) + 0 + (15)(0) - 30|}{\sqrt{(-10)^2 + 0^2 + 15^2}} \]
\[ d = \frac{|-40 - 30|}{\sqrt{100 + 225