Как определить взаимное расположение двух окружностей, если даны их уравнения: (х+4)^2+(у-3)^2=25 и (х-1)^2

Rak

64

Для определения взаимного расположения двух окружностей по их уравнениям необходимо проанализировать их геометрические характеристики.

Даны уравнения двух окружностей:
1) \((x+4)^2 + (y-3)^2 = 25\)
2) \((x-1)^2 + (y-2)^2 = 1\)

Для начала, посмотрим на центры этих окружностей. Обратите внимание, что в уравнении окружности \( (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \) координаты центра окружности будут (a, b), а радиус окружности - это корень квадратный из числа r^2.

Из первого уравнения видно, что центр окружности 1 находится в точке \((-4, 3)\).
Из второго уравнения видно, что центр окружности 2 находится в точке \((1, 2)\).

Теперь рассмотрим радиусы окружностей.
В первом уравнении видно, что радиус окружности 1 равен 5 (так как \(\sqrt{25} = 5\)).
Во втором уравнении видно, что радиус окружности 2 равен 1 (так как \(\sqrt{1} = 1\)).

Таким образом, у нас есть две окружности:
1) Окружность 1 с центром в точке \((-4, 3)\) и радиусом 5.
2) Окружность 2 с центром в точке \((1, 2)\) и радиусом 1.

Чтобы определить взаимное расположение окружностей, мы можем сравнить расстояние между их центрами и сумму радиусов.

Расстояние между двумя точками в декартовой системе координат может быть найдено с помощью формулы расстояния между двумя точками:
\[d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\]

Применяя эту формулу, найдем расстояние между центрами окружностей:
\[d = \sqrt{((-4) - 1)^2 + ((3) - 2)^2} = \sqrt{(-5)^2 + (1)^2} = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26}\]

Теперь сравним расстояние между центрами с суммой радиусов:
\(\sqrt{26}\) < 5 + 1

Итак, мы видим, что расстояние между центрами окружностей (\(\sqrt{26}\)) меньше, чем сумма их радиусов (5 + 1 = 6).

Следовательно, две окружности пересекаются друг с другом.

Вот и все! Теперь вы знаете, как определить взаимное расположение двух окружностей, и в данном конкретном случае они пересекаются. Я всегда готов помочь!