Найти косинус угла α между прямыми BN и AM на кубе ABCDA1B1C1D1, где на ребрах B1A1 и A1D1 отмечены точки N

Якорица

36

Для решения этой задачи, нам понадобится использовать знания о косинусе угла между векторами.

1. Построение векторов:
Пусть вектор \(\overrightarrow{BN}\) обозначает направление от точки B1 к точке N, а вектор \(\overrightarrow{AM}\) обозначает направление от точки A1 к точке M.

2. Нахождение длин векторов:
Так как отношение длин отмеченных отрезков указано в условии, мы можем найти длины векторов \(\overrightarrow{BN}\) и \(\overrightarrow{AM}\).
Длина вектора \(\overrightarrow{BN}\) равна \(\frac{1}{3}\) от длины ребра куба, то есть \(\frac{1}{3}\).
Длина вектора \(\overrightarrow{AM}\) равна \(\frac{1}{4}\) от длины ребра куба, то есть \(\frac{1}{4}\).

3. Нахождение скалярного произведения:
Скалярное произведение двух векторов \(\overrightarrow{BN}\) и \(\overrightarrow{AM}\) можно найти, умножив их длины на косинус угла между ними. Поэтому нам нужно найти только косинус угла между векторами.

4. Нахождение косинуса угла:
Для нахождения косинуса угла между векторами, необходимо найти скалярное произведение векторов и разделить его на произведение длин векторов.
Аналитически, это выглядит так: \(Cos(\alpha) = \frac{\overrightarrow{BN} \cdot \overrightarrow{AM}}{|\overrightarrow{BN}| \cdot |\overrightarrow{AM}|}\), где \(\cdot\) обозначает скалярное произведение, \(|\overrightarrow{BN}|\) - длина вектора \(\overrightarrow{BN}\), а \(|\overrightarrow{AM}|\) - длина вектора \(\overrightarrow{AM}\).

5. Замена значений и расчет:
Подставим полученные значения в формулу: \(Cos(\alpha) = \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4}}{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4}}\).
После сокращения и упрощения, получим: \(Cos(\alpha) = 1\).

Таким образом, косинус угла \(\alpha\) между прямыми BN и AM на данном кубе равен 1.