На единичной окружности есть точка P, она была получена путем поворота на угол α = -15. Прошу указать знаки абсциссы

David

5

Хорошо, чтобы решить эту задачу, нам нужно знать, что точка P получена путем поворота на угол \(\alpha = -15\) на единичной окружности.

Для начала, давайте определим, что такое единичная окружность. Единичная окружность - это окружность с радиусом 1, которая центрирована в начале координат. Возможно, вы уже знаете, что абсцисса (x-координата) точки на окружности определяется косинусом угла поворота, а ордината (y-координата) определяется синусом угла поворота.

Теперь найдем абсциссу и ординату точки P.

Абсцисса точки P: \(x = \cos(\alpha)\)

В нашем случае, угол \(\alpha = -15\), поэтому, подставляя значения, получаем:

\(x = \cos(-15)\)

Для вычисления этого значения, нам понадобятся косинусы углов, включая отрицательные углы. В ходе вычислений мы используем аналитическую формулу для косинуса отрицательного угла:

\(\cos(-\theta) = \cos(\theta)\)

Таким образом,

\(x = \cos(-15) = \cos(15)\)

Угол 15 градусов - это кратные углы из таблицы тройных углов. В круге, 30 градусов - это также 360 градусов. Поэтому мы можем представить 15 градусов как разность между 30 градусами и другими углами, таким образом:

\(x = \cos(15) = \cos(30 - 15)\)

На основании формулы разности:

\(\cos(a - b) = \cos(a) \cdot \cos(b) + \sin(a) \cdot \sin(b)\)

Используя таблицу тройных углов, мы можем найти значения косинусов и синусов для 30 градусов и 15 градусов:

\(\cos(30) = \frac{\sqrt{3}}{2}\), \(\sin(30) = \frac{1}{2}\)
\(\cos(15) = \cos(30 - 15) = \cos(30) \cdot \cos(15) + \sin(30) \cdot \sin(15)\)

Подставляя значения, получаем:

\(\cos(15) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \cos(15) + \frac{1}{2} \cdot \sin(15)\)

Мы знаем, что синус 15 градусов также является тройным углом синуса 5 градусов:

\(\sin(15) = \sin(30 - 15) = \sin(30) \cdot \cos(15) - \cos(30) \cdot \sin(15)\)

Подставляя значения, получаем:

\(\sin(15) = \frac{1}{2} \cdot \cos(15) - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sin(15)\)

Теперь у нас есть система уравнений с двумя неизвестными (\(\cos(15)\) и \(\sin(15)\)). Решая эту систему, мы можем найти значения этих тригонометрических функций.

Для удобства обозначим \(\cos(15)\) как \(a\) и \(\sin(15)\) как \(b\).

Решаем получившуюся систему уравнений:

\(\cos(15) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot a + \frac{1}{2} \cdot b\)
\(\sin(15) = \frac{1}{2} \cdot a - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot b\)

Подставляя значения для \(\sin(15)\) и \(\cos(15)\), получаем:

\(b = \frac{\sin(15)}{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}}\)
\(a = \frac{\cos(15) - \frac{1}{2} \cdot b}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\)

Вычисляя значения, мы получаем:

\(b \approx 0.2588\)
\(a \approx 0.9659\)

Таким образом, абсцисса точки P равна примерно 0.9659, а ордината равна примерно 0.2588.