Найти объем меньшего шарового сегмента, отсекаемого плоскостью сечения на расстоянии 7 см от центра шара, при условии

Belchonok

3

Шаровой сегмент - это часть шара, ограниченная плоскостью сечения. Чтобы найти объем меньшего шарового сегмента, отсекаемого плоскостью сечения, нас просили учесть, что длина окружности сечения равна 22 см, а расстояние от центра шара до плоскости сечения равно 7 см.

Для начала, найдем радиус шара. Длина окружности сечения равна \(2\pi r\), где \(r\) - радиус шара. Таким образом, у нас есть уравнение:

\[2\pi r = 22\]

Разделим обе части уравнения на \(2\pi\), чтобы найти радиус шара:

\[r = \frac{22}{2\pi} = \frac{11}{\pi}\]

Теперь, чтобы найти высоту шарового сегмента, воспользуемся теоремой Пифагора. Высота шарового сегмента - это расстояние от центра шара до плоскости сечения. Оно равно расстоянию, на котором плоскость сечения отсекает радиус шара. Таким образом, мы можем применить теорему Пифагора:

\[h^2 = r^2 - d^2\]

где \(h\) - высота шарового сегмента, \(r\) - радиус шара, \(d\) - расстояние от центра шара до плоскости сечения. Здесь \(d\) равно половине длины окружности сечения, так как плоскость сечения проходит через центр шара:

\[d = \frac{22}{2} = 11\]

Подставим значения в уравнение:

\[h^2 = \left(\frac{11}{\pi}\right)^2 - 11^2\]

\[h^2 = \frac{121}{\pi^2} - 121\]

Выполним дальнейшие вычисления:

\[h^2 = \frac{121 - 121\pi^2}{\pi^2}\]

Чтобы найти \(h\), возьмем квадратный корень из обеих сторон:

\[h = \sqrt{\frac{121 - 121\pi^2}{\pi^2}}\]

Теперь мы можем найти объем меньшего шарового сегмента. Объем шарового сегмента можно вычислить с использованием формулы:

\[V = \frac{h}{6}(3A + h^2)\]

где \(V\) - объем шарового сегмента, \(h\) - высота шарового сегмента, \(A\) - площадь основания сегмента.

Радиус основания сегмента равен радиусу шара, поэтому \(A = \pi r^2\).

Подставим значения в формулу объема:

\[V = \frac{\sqrt{\frac{121 - 121\pi^2}{\pi^2}}}{6}\left(3\pi\left(\frac{11}{\pi}\right)^2 + \left(\sqrt{\frac{121 - 121\pi^2}{\pi^2}}\right)^2\right)\]

После упрощений получаем окончательное значение объема меньшего шарового сегмента.