Який об єм відрізаного тіла, якщо з куба зрізано тіло, що має спільну вершину з трьома його ребрами, проходячи через

Янтарь

41

Давайте разберем эту задачу по шагам.

1. Введем обозначения:
- Пусть длина ребра куба равна \(a\).
- Объем всего куба равен \(V_{\text{куба}}\).
- Объем отрезанного тела равен \(V_{\text{отрезанного тела}}\).

2. Рассмотрим, как выглядит куб, в котором происходит отрезание.
- Внутри такого куба есть другой куб, который имеет общую вершину с родительским кубом и middle \(2\) из его ребер проходят через середину родительских ребер.
- Другими словами, мы можем представить исходный куб как сумму двух частей:
- Внутренний куб.
- Внешняя часть, состоящая из шести прямоугольных параллелепипедов.

3. Найдем объем внутреннего куба.
- Ребро внутреннего куба будет равно \(a/2\), так как оно проходит через середину родительского куба.
- Следовательно, объем внутреннего куба равен \((a/2)^3\).

4. Теперь найдем объем внешней части.
- Каждый из шести прямоугольных параллелепипедов являются прямоугольными параллелепипедами с длинами \(a\), \(a/2\) и \(a/2\).
- Объем каждого такого параллелепипеда равен \(a \times (a/2) \times (a/2)\).
- Таким образом, объем всех шести параллелепипедов составит \(6 \times a \times (a/2) \times (a/2)\).

5. Вычислим объем отрезанного тела.
- Объем отрезанного тела равен объему всего куба минус объем внутреннего куба и объем внешней части.
- То есть,
\[V_{\text{отрезанного тела}} = V_{\text{куба}} - \left((a/2)^3 + 6 \times a \times (a/2) \times (a/2)\right).\]

6. Заменим \(V_{\text{куба}}\) на \(a^3\).
\[V_{\text{отрезанного тела}} = a^3 - \left((a/2)^3 + 6 \times a \times (a/2) \times (a/2)\right).\]

7. Упростим выражение.
\[V_{\text{отрезанного тела}} = a^3 - \left(\frac{a^3}{8} + \frac{3a^3}{2}\right).\]
\[V_{\text{отрезанного тела}} = a^3 - \frac{a^3}{8} - \frac{3a^3}{2}.\]

8. Приведем подобные слагаемые.
\[V_{\text{отрезанного тела}} = \frac{8a^3}{8} - \frac{a^3}{8} - \frac{12a^3}{8}.\]
\[V_{\text{отрезанного тела}} = \frac{8a^3 - a^3 - 12a^3}{8}.\]
\[V_{\text{отрезанного тела}} = \frac{-5a^3}{8}.\]

Таким образом, объем отрезанного тела составляет \(-5a^3/8\).