Найти площадь равнобедренной трапеции, основания которой равны 4 и 24, а один из углов равен

Сверкающий_Пегас

52

Чтобы найти площадь равнобедренной трапеции, нам нужно знать её основания и высоту. В данной задаче основания составляют 4 и 24, а один из углов равен \(45^\circ\). Давайте разберёмся, как найти высоту.

У нас есть следующая информация:
- Основания трапеции: a = 4 и b = 24
- Угол между основанием b и боковой стороной равен \(45^\circ\)

Поскольку трапеция равнобедренная, у нас есть две равные боковые стороны. Обозначим их через c.

По теореме косинусов мы можем найти значение c:
\[c^2 = a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos(C)\]
где C - это угол между основаниями трапеции.

Подставим известные значения в формулу:
\[c^2 = 4^2 + 24^2 - 2 \cdot 4 \cdot 24 \cdot \cos(45^\circ)\]

Чтобы найти значение выражения \(\cos(45^\circ)\), мы можем использовать таблицу значений или калькулятор. Ответ будет \(\cos(45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}}\).

Продолжим вычисления:
\[c^2 = 16 + 576 - 2 \cdot 4 \cdot 24 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\]
\[c^2 = 592 - 2 \cdot 4 \cdot 24 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\]
\[c^2 = 592 - 192 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\]

Далее, чтобы найти высоту трапеции, мы можем использовать теорему Пифагора:
\[h^2 = c^2 - \left(\frac{b - a}{2}\right)^2\]

Подставим известные значения в формулу:
\[h^2 = 592 - \left(\frac{24 - 4}{2}\right)^2\]
\[h^2 = 592 - \left(\frac{20}{2}\right)^2\]
\[h^2 = 592 - 10^2\]
\[h^2 = 592 - 100\]
\[h^2 = 492\]

Теперь мы можем найти площадь трапеции, используя формулу:
\[S = \frac{(a + b) \cdot h}{2}\]
\[S = \frac{(4 + 24) \cdot \sqrt{492}}{2}\]
\[S = \frac{28 \cdot \sqrt{492}}{2}\]
\[S = 14 \cdot \sqrt{492}\]

Таким образом, площадь равнобедренной трапеции равна \(14 \cdot \sqrt{492}\).