Найти скорость точки m на барабане в момент времени t=1c, при условии, что груз 1 поднимается с помощью лебедки

Dobryy_Ubiyca

16

Чтобы найти скорость точки m на барабане в момент времени \(t=1\)с, мы можем воспользоваться определением скорости как производной от координаты точки по времени.

Для начала, нам необходимо найти функцию \(s(t)\), которая описывает координату точки m на барабане в зависимости от времени. Для этого нам понадобится уравнение, которое связывает угол поворота барабана \(\phi\) и его диаметр \(d\).

У нас дано уравнение для угла поворота барабана: \(\phi = 5 + 2t^3\).

Поскольку диаметр барабана \(d\) равен 25 см, радиус барабана \(r\) будет равен \(d/2\), то есть \(r = 25/2\) см.

Используя связь между углом поворота и дугой окружности, можно записать:

\(\phi = \frac{s(t)}{r}\),

где \(s(t)\) - длина дуги, искомая координата точки m на барабане в зависимости от времени.

Для нахождения производной от \(s(t)\) по \(t\), мы воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции:

\(\frac{d\phi}{dt} = \frac{1}{r} \frac{ds(t)}{dt}\).

Дифференцируя уравнение \(\phi = 5 + 2t^3\) по времени, получаем:

\(0 = 0 + 6t^2\),

а это означает, что \(\frac{d\phi}{dt} = 6t^2\).

Используя полученное значение производной, мы можем выразить производную от \(s(t)\) по времени:

\(\frac{ds(t)}{dt} = \frac{d\phi}{dt} \cdot r\).

Подставляя значения производных и радиуса в уравнение:

\(\frac{ds(t)}{dt} = 6t^2 \cdot \frac{25}{2}\).

Теперь мы имеем выражение для производной от \(s(t)\) по времени. Чтобы найти скорость точки m в момент времени \(t=1\)с, мы подставляем \(t=1\) в полученное выражение:

\(\frac{ds(t)}{dt} = 6 \cdot 1^2 \cdot \frac{25}{2} = 75\) см/с.

Таким образом, скорость точки m на барабане в момент времени \(t=1\)с равна 75 см/с.