Найти сумму s, которая уже 30 минут задумываюсь. Заранее известно, что сумма s существует и является конечной. Найдите

Игоревна

32

Давайте решим данную задачу шаг за шагом, чтобы вы могли легко понять процесс. У нас дано следующее выражение:

\[s = \frac{1}{3}-\frac{3}{3^2}+\frac{5}{3^3}-\frac{7}{3^4}+(-1)^{n+1}\frac{2n-1}{3^n}\]

Первое, что мы можем заметить, это что данное выражение выглядит как сумма бесконечного ряда, где каждый член зависит от предыдущего. Давайте проанализируем ряд ближе, чтобы лучше понять его свойства.

Заметим, что знаменатель каждого члена ряда \(3^n\) возрастает с увеличением n, что означает, что значения последующих членов ряда будут сходиться к нулю. Также заметим, что числитель каждого члена ряда имеет альтернативный знак: \(1, -3, 5, -7, \dots\).

Теперь нам нужно определить условие, при котором ряд будет сходиться к конечному значению s. Это условие зависит от значений \((-1)^{n+1}\frac{2n-1}{3^n}\). Рассмотрим предел ряда при \(n \to \infty\) и найдем его значение, чтобы проверить сходимость.

\[\lim_{{n \to \infty}} |(-1)^{n+1}\frac{2n-1}{3^n}|\]

Когда \(n\) стремится к бесконечности, \(2n-1\) будет стремиться к бесконечности, а \(3^n\) будет стремиться к бесконечности еще быстрее. Таким образом, в знаменателе у вас будет бесконечно большое число, а в числителе будет бесконечно большое или бесконечно малое число в зависимости от значения (-1)^(n+1).

Теперь давайте рассмотрим два случая:

1. Когда (-1)^(n+1) равно 1:
В этом случае ограничительная функция выражения будет равна:
\[\lim_{{n \to \infty}} \frac{2n-1}{3^n}\]

Верхняя часть дроби, \(2n-1\), будет стремиться к бесконечности, а знаменатель, \(3^n\), будет стремиться к бесконечности гораздо быстрее. Поэтому в этом случае ограничителем будет 0.

2. Когда (-1)^(n+1) равно -1:
В этом случае ограничительная функция выражения будет равна:
\[\lim_{{n \to \infty}} -\frac{2n-1}{3^n}\]

Подобно первому случаю, верхняя часть дроби, \(2n-1\), будет стремиться к бесконечности, а знаменатель, \(3^n\), будет стремиться к бесконечности гораздо быстрее. Но так как знак перед дробью отрицательный, ограничитель будет равен 0, но с отрицательным знаком, то есть -0.

Суммируя оба случая, мы получаем, что сумма ряда \(s\) равна 0. То есть:

\[s = 0\]

Таким образом, мы нашли искомую сумму \(s\), которую вы искали уже 30 минут. Она равна 0.