Является ли отношение иметь одно и то же число делителей на множестве X={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

Veronika

68

Чтобы определить, является ли отношение "иметь одно и то же число делителей" на множестве \(X = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}\) отношением эквивалентности, нам необходимо проверить, выполняются ли для этого отношения три основных свойства: рефлексивность, симметричность и транзитивность.

1. Рефлексивность: Отношение является рефлексивным, если каждый элемент множества связан с самим собой. В данном случае, чтобы отношение "иметь одно и то же число делителей" было рефлексивным, каждое число должно иметь одно и то же число делителей, как и само себя. Давайте проверим это для всех чисел из множества \(X\).

- Число 1 имеет только одного делителя: само себя. Следовательно, рефлексивность выполняется для числа 1.
- Число 2 имеет два делителя: 1 и 2. Очевидно, что число делителей не одинаковое, поэтому рефлексивность не выполняется для числа 2.
- Число 3 имеет два делителя: 1 и 3. Опять же, число делителей не одинаковое, поэтому рефлексивность не выполняется для числа 3.
- Проверяя остальные числа из множества \(X\), мы можем заметить, что ни одно из них не выполняет рефлексивность.

Таким образом, отношение "иметь одно и то же число делителей" не является рефлексивным на множестве \(X\).

2. Симметричность: Отношение является симметричным, если для любых двух элементов \(a\) и \(b\), если \(a\) связан с \(b\), то и \(b\) связан с \(a\). Давайте проверим симметричность для отношения "иметь одно и то же число делителей" для чисел из множества \(X\).

- Допустим, что число 2 связано с числом 4, то есть оба числа имеют два делителя. Однако, число 4 не связано с числом 2, так как у числа 2 только два делителя, а у числа 4 - три делителя (1, 2 и 4). Следовательно, отношение не является симметричным.

Таким образом, отношение "иметь одно и то же число делителей" не является симметричным на множестве \(X\).

3. Транзитивность: Отношение является транзитивным, если для любых трех элементов \(a\), \(b\) и \(c\), если \(a\) связан с \(b\) и \(b\) связан с \(c\), то \(a\) также связан с \(c\). Проверим транзитивность для отношения "иметь одно и то же число делителей" для чисел из множества \(X\).

- Допустим, число 2 связано с числом 4 (так как оба числа имеют два делителя) и число 4 связано с числом 8 (оба числа имеют три делителя). Однако, число 2 не связано с числом 8, так как у числа 2 только два делителя, а у числа 8 - четыре делителя (1, 2, 4 и 8). Следовательно, отношение не является транзитивным.

Таким образом, отношение "иметь одно и то же число делителей" не является транзитивным на множестве \(X\).

Итак, мы можем заключить, что отношение "иметь одно и то же число делителей" на множестве \(X\) не является отношением эквивалентности, так как оно не обладает всеми тремя необходимыми свойствами (рефлексивностью, симметричностью и транзитивностью).