Найти угол треугольника MNP. Given: triangle MNP, M(-3; -2), N(1; 4), P(2; -1), find the angle

Кедр

47

Для нахождения угла треугольника MNP нам потребуется использовать геометрические знания о треугольниках и их свойствах. Давайте приступим к решению задачи.

1. Сначала нам необходимо определить координаты всех вершин треугольника MNP. По условию, координаты точки M равны (-3; -2), координаты точки N равны (1; 4), а координаты точки P равны (2; -1).

2. Построим векторы \(\overrightarrow{MN}\) и \(\overrightarrow{MP}\), чтобы вычислить их скалярное произведение.

\(\overrightarrow{MN} = \begin{pmatrix}1 - (-3)\\4 - (-2)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4\\6\end{pmatrix}\)

\(\overrightarrow{MP} = \begin{pmatrix}2 - (-3)\\-1 - (-2)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5\\1\end{pmatrix}\)

3. Теперь вычислим их скалярное произведение:

\(\overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{MP} = 4 \cdot 5 + 6 \cdot 1 = 20 + 6 = 26\)

4. Зная длины векторов \(\overrightarrow{MN}\) и \(\overrightarrow{MP}\), а также их скалярное произведение, можем вычислить косинус угла между ними по формуле:

\[\cos\theta = \frac{\overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{MP}}{|\overrightarrow{MN}| \cdot |\overrightarrow{MP}|}\]

Где \(|\overrightarrow{MN}|\) и \(|\overrightarrow{MP}|\) - длины векторов \(\overrightarrow{MN}\) и \(\overrightarrow{MP}\).

5. Вычислим длины векторов:

\( |\overrightarrow{MN}| = \sqrt{4^2 + 6^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \)

\( |\overrightarrow{MP}| = \sqrt{5^2 + 1^2} = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26} \)

6. Подставим полученные значения в формулу и рассчитаем косинус угла:

\[\cos\theta = \frac{26}{{2\sqrt{13}} \cdot {\sqrt{26}}} = \frac{26}{2\sqrt{338}} = \frac{13}{\sqrt{338}}\]

7. Наконец, найдем значение угла \(\theta\) с помощью обратной функции косинуса (арккосинуса) и округлим его до ближайшего целого числа:

\(\theta = \arccos\left(\frac{13}{\sqrt{338}}\right) \approx 71^\circ\)

Ответ: Угол треугольника MNP равен примерно 71 градуса.