Найти уравнение эллипса, у которого фокусы имеют координаты (-4;0) и (4;0), а эксцентриситет известен

Загадочный_Эльф_5404

4

Хорошо, давайте разберем эту задачу поэтапно. Чтобы найти уравнение эллипса с заданными фокусами и известным эксцентриситетом, мы можем использовать следующую формулу:

\[c = ae\]

Где:
- \(c\) - расстояние от центра эллипса до фокуса
- \(a\) - полуось эллипса
- \(e\) - эксцентриситет

В данной задаче фокусы имеют координаты (-4;0) и (4;0), а эксцентриситет \(e\) нам уже известен.

1. Найдем расстояние от центра эллипса до фокуса. Для этого используем формулу расстояния между двумя точками:

\[d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\]

Где:
- \((x_1, y_1)\) - координаты первого фокуса
- \((x_2, y_2)\) - координаты второго фокуса

В нашем случае, \((x_1, y_1) = (-4, 0)\) и \((x_2, y_2) = (4, 0)\). Подставим значения в формулу:

\[d = \sqrt{(4 - (-4))^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{8^2 + 0} = \sqrt{64} = 8\]

Таким образом, расстояние от центра эллипса до фокуса равно 8.

2. Теперь мы знаем значение \(c\) (8) и значение \(e\) (эксцентриситет эллипса). Мы можем найти \(a\) с помощью формулы:

\[c = ae\]

Подставим известные значения и найдем \(a\):

\[8 = a \cdot e\]

Теперь разделим обе части уравнения на \(e\):

\[a = \frac{8}{e}\]

Это значение полуоси \(a\).

3. Теперь у нас есть все необходимые компоненты для записи уравнения эллипса. Общий вид уравнения эллипса следующий:

\[\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1\]

Где:
- \((h, k)\) - координаты центра эллипса
- \(a\) и \(b\) - полуоси эллипса

В нашем случае центр эллипса находится на оси OX и имеет координаты (0, 0), поскольку фокусы лежат на оси OX. Таким образом, \((h, k) = (0, 0)\).

Заметим, что у нас эксцентриситет эллипса \(e\), а не \(b\). Полную формулу для эксцентриситета можно записать как:

\[e = \sqrt{a^2 - b^2}\]

Ранее мы нашли значение полуоси \(a\):

\[a = \frac{8}{e}\]

Теперь, зная \(a\), мы можем найти \(b\). Подставим найденные значения в формулу для эксцентриситета:

\[e = \sqrt{\left(\frac{8}{e}\right)^2 - b^2}\]

Возведем значение \(a\) в квадрат и решим уравнение относительно \(b\):

\[e = \sqrt{\frac{64}{e^2} - b^2}\]
\[e^2 = \frac{64}{e^2} - b^2\]
\[b^2 = \frac{64}{e^2} - e^2\]

Теперь, найдя \(b\), можно записать окончательное уравнение эллипса:

\[\frac{x^2}{\left(\frac{8}{e}\right)^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\]

Подставим полученные значения в уравнение и упростим его:

\[\frac{x^2}{\left(\frac{8}{e}\right)^2} + \frac{y^2}{\left(\sqrt{\frac{64}{e^2} - e^2}\right)^2} = 1\]

Результат зависит от значения эксцентриситета \(e\). Если вы сможете сообщить его значение, я смогу предоставить вам окончательный ответ с подробными объяснениями и проверкой.