Найти векторы a и b, где a=2i-3j+k и b=4i-2k, и орты i, j, k являются единичными и взаимно перпендикулярными

Петя

63

Для начала давайте разберемся, что такое векторы. Вектор - это математический объект, который имеет направление и длину. В данном случае, у нас есть векторы a и b. Выразим их координаты в виде комбинаций орт i, j и k:

Вектор a = 2i - 3j + k
Вектор b = 4i - 2k

Из данного представления видно, что у вектора a координаты i, j и k равны 2, -3 и 1 соответственно, а у вектора b координаты i, j и k равны 4, 0 и -2 соответственно.

Теперь нам нужно убедиться, что орты i, j и k являются единичными и взаимно перпендикулярными.

Единичными называются векторы, длина которых равна 1. Проверим это для ортов i, j и k:

Длина вектора i равна: \(\sqrt{i \cdot i} = \sqrt{1^2+0^2+0^2} = 1\)
Длина вектора j равна: \(\sqrt{j \cdot j} = \sqrt{0^2+1^2+0^2} = 1\)
Длина вектора k равна: \(\sqrt{k \cdot k} = \sqrt{0^2+0^2+1^2} = 1\)

Таким образом, орты i, j и k являются единичными.

Теперь докажем, что орты i, j и k взаимно перпендикулярны. Для этого проверим, равен ли 0 их скалярное произведение:

i \cdot j = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 0
j \cdot k = 0 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 0 \cdot (-2) = 0
i \cdot k = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot (-2) = 0

Таким образом, скалярное произведение всех ортов i, j и k равно 0, что означает их взаимную перпендикулярность.

Итак, векторы a и b, где a = 2i - 3j + k и b = 4i - 2k, с ортами i, j и k являющимися единичными и взаимно перпендикулярными, найдены.