Найти вероятность того, что две точки попадут в интервал [0; 2], одна точка попадет в интервал [2; 3], и две точки

Летучая

46

Вероятность того, что две точки попадут в интервал \([0; 2]\), одна точка попадет в интервал \([2; 3]\), а две точки попадут в интервал \([3; 4]\) можно рассчитать с помощью метода перебора.

Изначально, предположим, что у нас имеется предел выбора точек \(n = 5\). Общее количество способов выбрать первую точку равно длине всего интервала \([0;4]\), то есть \(4-0 = 4\).

Теперь, когда мы выбрали первую точку и она попала в интервал \([0;2]\), остается выбрать еще одну точку в том же интервале. Количество способов выбрать вторую точку равно длине интервала \([0;2]\), то есть \(2-0 = 2\).

Далее, нужно выбрать еще одну точку, которая попадет в интервал \([2;3]\) и две точки, которые попадут в интервал \([3;4]\). Поскольку у нас осталось две точки и три интервала для выбора, количество способов выбрать эти две точки равно \(\binom{3}{2} = 3\), так как мы выбираем два объекта из трех (интервалы).

Таким образом, общая вероятность события будет равна произведению вероятностей каждого этапа. Посчитаем:

\(\text{Вероятность первого этапа} = \frac{\text{количество способов выбрать точки в интервале [0;2]}}{\text{общее количество точек}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\)

\(\text{Вероятность второго этапа} = \frac{\text{количество способов выбрать точки в интервале [2;3]}}{\text{количество оставшихся точек после первого этапа}} = \frac{1}{2}\)

\(\text{Вероятность третьего этапа} = \frac{\text{количество способов выбрать точки в интервале [3;4]}}{\text{количество оставшихся точек после второго этапа}} = \frac{2}{1} = 2\)

\(\text{Вероятность выбора двух точек из трех интервалов} = \frac{\text{количество способов выбрать две точки из трех интервалов}}{\text{общее количество способов выбрать две точки из всех оставшихся точек}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)

Теперь перемножим все вероятности:

\(\text{Общая вероятность} = \text{Вероятность первого этапа} \times \text{Вероятность второго этапа} \times \text{Вероятность третьего этапа} \times \text{Вероятность выбора двух точек из трех интервалов}\)

\(\text{Общая вероятность} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times 2 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}\)

Таким образом, вероятность того, что две точки попадут в интервал \([0; 2]\), одна точка попадет в интервал \([2; 3]\), и две точки попадут в интервал \([3; 4]\) составляет \(\frac{1}{4}\).