Найти значение соответствующей стороны подобного треугольника, если известно, что его площадь равна 64, другой

Puteshestvennik_Vo_Vremeni

58

Для решения этой задачи вам потребуется знание основ геометрии и свойств подобных треугольников.

Итак, у нас есть два подобных треугольника. Подобные треугольники имеют соответствующие стороны, пропорциональные друг другу. Нам известны площади этих треугольников и одна из сторон.

Предположим, что известная сторона первого треугольника равна \(a\), и соответствующая сторона во втором треугольнике равна \(b\). Тогда соответствующая площадь первого треугольника равна 64, а площадь второго треугольника равна 81.

Мы знаем, что площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту. Таким образом, мы можем написать уравнения для площадей треугольников:

\[\frac{1}{2} \cdot a \cdot h_1 = 64\]
\[\frac{1}{2} \cdot b \cdot h_2 = 81\]

где \(h_1\) и \(h_2\) - высоты соответствующих треугольников.

Как выразить \(h_1\) и \(h_2\) через известные значения? Давайте сравним соответствующие стороны треугольников. Они подобны, поэтому мы можем написать пропорцию:

\(\frac{h_2}{h_1} = \frac{b}{a}\)

Теперь мы можем выразить высоту первого треугольника \(h_1\) через известные значения:

\(h_1 = \frac{a \cdot h_2}{b}\)

Подставим это значение в первое уравнение:

\[\frac{1}{2} \cdot a \cdot \left(\frac{a \cdot h_2}{b}\right) = 64\]

Раскроем скобки и упростим выражение:

\[\frac{a^2 \cdot h_2}{2b} = 64\]

Перемножим обе части уравнения на \(\frac{2b}{h_2}\), чтобы избавиться от дроби:

\[a^2 = \frac{128b}{h_2}\]

Теперь мы можем выразить сторону \(a\):

\[a = \sqrt{\frac{128b}{h_2}}\]

Таким же образом мы можем выразить сторону \(b\):

\[b = \sqrt{\frac{162a}{h_1}}\]

Подставим известные значения площадей второго треугольника (81) и сторону \(a\) и \(h_1\), чтобы найти значение стороны \(b\):

\[b = \sqrt{\frac{162a}{h_1}} = \sqrt{\frac{162 \cdot a}{\frac{64 \cdot 2 \cdot a \cdot h_2}{b}}} = \sqrt{\frac{324a^2}{128b}} = \sqrt{\frac{9a^2}{4}} = \frac{3a}{2}\]

Теперь мы можем найти значение стороны \(b\):

\[\frac{3a}{2} = b\]

Осталось найти значение стороны \(a\). Заменим \(b\) на \(\frac{3a}{2}\) в уравнении \(a = \sqrt{\frac{128b}{h_2}}\):

\[a = \sqrt{\frac{128 \cdot \frac{3a}{2}}{h_2}} = \sqrt{192 \cdot \frac{a}{h_2}}\]

Возводим обе части уравнения в квадрат, чтобы убрать корень:

\[a^2 = 192 \cdot \frac{a}{h_2}\]

или

\[a^2 \cdot h_2 = 192a\]

Теперь можем найти значение стороны \(a\):

\[a = \frac{192a}{h_2}\]

\[h_2 = 192\]

Таким образом, мы нашли значение стороны \(a\), которое равно 192, и значение стороны \(h_2\), которое равно 192.

Проверим, являются ли треугольники подобными, используя найденные значения сторон:

\(\frac{b}{a} = \frac{\frac{3a}{2}}{192} = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{192} = \frac{1}{128}\)

\(\frac{h_2}{h_1} = \frac{192}{192} = 1\)

Отношение сторон и отношение высот одинаковы, значит, наши треугольники действительно являются подобными.

Таким образом, значение стороны \(b\) равно \(\frac{3 \cdot 192}{2} = 288\).

Ответ: Значение соответствующей стороны подобного треугольника равно 288.