Не менее скольки ребер покрашено в n-мерном кубе, если покрашено более половины вершин?

Yaroslava

68

Для решения этой задачи, давайте вначале посмотрим, сколько всего вершин есть в n-мерном кубе.

В n-мерном кубе есть \(2^n\) вершин, так как в каждом измерении (измерения n) есть две возможные позиции для каждой вершины: 0 или 1 (скажем, если мы рассматриваем трехмерный куб, то каждая вершина может быть либо в начале координат (0, 0, 0), либо в одной из соседних позиций (0, 0, 1), (0, 1, 0) и т.д.). Так как в каждом измерении у нас две возможности, то всего вершин будет \(2^n\).

Итак, если покрашено более половины вершин n-мерного куба, нам нужно определить, не менее скольки ребер покрашено. Давайте рассмотрим каждое ребро и посмотрим, сколько вершин этого ребра покрашено.

В n-мерном кубе каждое ребро имеет две вершины. Предположим, что ребро не покрашено, тогда обе его вершины должны быть не покрашеными. Так как в каждом измерении мы имеем две возможности для положения вершины (покрашена или не покрашена), тогда для покрашенного ребра у нас есть \(2^{n-1}\) вариантов.

Теперь давайте подсчитаем, сколько всего ребер в n-мерном кубе. В каждом измерении у нас есть n ребер, поэтому всего у нас будет \(2n\) ребер.

Итак, не менее скольки ребер покрашено? Если более половины вершин покрашено, то мы знаем, что количество покрашенных ребер должно быть больше половины от общего количества ребер.

Половина от общего количества ребер равняется \(\frac{2n}{2} = n\), где n - количество измерений (размерность).

Таким образом, не менее чем n ребер должно быть покрашено в n-мерном кубе, если покрашено более половины вершин.

Надеюсь, это разъясняет задачу и обосновывает ответ. Если есть какие-то вопросы или нужно более подробное объяснение, пожалуйста, дайте знать.