Необходимо доказать, что если радиусы окружностей, описанных около треугольников АПВ, ВРС, СРА, равны, то точка

Изумрудный_Пегас

25

Для доказательства данного утверждения рассмотрим треугольник АПВ, образованный точками А, П и В.

Пусть R1 - радиус окружности, описанной вокруг треугольника АПВ. Обозначим центр этой окружности через O1. Так как окружность описана вокруг треугольника, то она проходит через все его вершины, в том числе через точку П.

Также, запишем, что радиусы описанных окружностей для треугольников ВРС и СРА также равны и равны R1.

Так как окружность описана вокруг треугольника, она проходит через все его вершины, в частности, она проходит через вершину В. Таким образом, наша окружность с центром O1 проходит через точку В.

Точку П в данном случае мы считаем фиксированной, она принадлежит окружностям всех трех треугольников. Отметим эту точку на нашей схеме.

Теперь перейдем к треугольнику ВРС. Проведем высоту из вершины В на сторону СР. Обозначим точку и пересечения этой высоты с отрезком СР через Н.

Заметим, что высота треугольника ВРС проходит через центр окружности O1 (так как радиусы для всех выводимых треугольников равны R1). Следовательно, Н - середина отрезка О1Р.

Аналогичными рассуждениями можно убедиться, что центр окружности, описанной около треугольника СРА, также лежит на высоте, проведенной из вершины С на сторону ВР.

Таким образом, у нас есть три высоты, проведенные из вершин треугольника АПВ (из П, В и А) на стороны соответствующих треугольников. По определению ортоцентра треугольника, все три высоты пересекаются в одной точке.

Следовательно, в данном случае точка П является ортоцентром треугольника АПВ.

Таким образом, мы доказали, что если радиусы окружностей, описанных около треугольников АПВ, ВРС, СРА, равны, то точка П является ортоцентром треугольника.