Необходимо доказать, что площадь четырехугольника, образованного соединением середин соседних сторон выпуклого

Инна

59

Хорошо, давайте начнем. Для доказательства этого факта, мы можем использовать свойство параллелограмма, которое гласит: «Линия, соединяющая середины двух сторон параллелограмма, делит его на два равных по площади треугольника».

Представим наш выпуклый четырехугольник ABCD, где AB, BC, CD и DA - его стороны. Теперь соединим середины соседних сторон этого четырехугольника. Обозначим точки середин сторон AB, BC, CD и DA как P, Q, R и S соответственно. Наш новый четырехугольник PQRS образован соединением середин соседних сторон исходного четырехугольника ABCD.

Теперь, согласно свойству параллелограмма, отрезок PQ делит четырехугольник ABCD на два треугольника APQ и BPQ. Точно также, отрезок QR делит четырехугольник ABCD на два треугольника BQR и CQR. Отрезок RS делит четырехугольник ABCD на два треугольника CRS и DRS. И, наконец, отрезок SP делит четырехугольник ABCD на два треугольника DSP и ASP.

Таким образом, четырехугольник ABCD разделен на восемь треугольников.

Обратите внимание, что каждый из этих треугольников имеет одну общую сторону с исходным четырехугольником ABCD. Когда эти треугольники объединяются, они образуют исходный четырехугольник ABCD.

Теперь давайте сравним площади этих двух четырехугольников: ABCD и PQRS. Поскольку PQ делит ABCD на два равных по площади треугольника APQ и BPQ, потому что PQ - это отрезок, соединяющий середины сторон параллелограмма ABCD, то площади треугольников APQ и BPQ равны между собой.

Аналогично, площади треугольников BQR и CQR, CRS и DRS, DSP и ASP также равны.

Таким образом, площадь четырехугольника PQRS равна сумме площадей треугольников APQ, BPQ, BQR, CQR, CRS, DRS, DSP и ASP. В свою очередь, сумма площадей этих восьми треугольников равна площади четырехугольника ABCD.

То есть, площадь четырехугольника PQRS равна площади четырехугольника ABCD.

Так как PQRS получен соединением середин соседних сторон ABCD, то PQRS - это параллелограмм.

В параллелограмме площадь равна произведению длины базы на высоту, поэтому площадь PQRS составляет половину произведения длины его базы и высоты.

Поскольку площади четырехугольника ABCD и параллелограмма PQRS равны, мы можем сказать, что площадь четырехугольника PQRS в два раза меньше площади исходного четырехугольника ABCD.

Таким образом, мы доказали, что площадь четырехугольника, образованного соединением середин соседних сторон выпуклого четырехугольника, в два раза меньше площади исходного четырехугольника.