Необходимо доказать, что результатом произведения двух хороших многочленов с целыми коэффициентами также является

Коко

36

Хорошо, давайте разберем эту задачу step-by-step. Прежде всего, что такое "хороший многочлен"? Давайте определим это понятие. Многочлен с целыми коэффициентами считается хорошим, если его коэффициенты являются целыми числами и его старший коэффициент (как правило, коэффициент при наибольшей степени) равен 1 или -1.

Теперь, когда мы знаем, что такое хороший многочлен, давайте рассмотрим произведение двух хороших многочленов. Пусть у нас есть два многочлена:

\[ A(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_1x + a_0 \]
\[ B(x) = b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1} + \ldots + b_1x + b_0 \]

Где \( a_n, a_{n-1}, \ldots, a_1, a_0, b_m, b_{m-1}, \ldots, b_1, b_0 \) - целые числа и \( a_n \) или \( b_m \) равно 1 или -1.

Мы должны доказать, что произведение \( C(x) = A(x) \cdot B(x) \) также является хорошим многочленом.

Для начала, давайте посмотрим на коэффициент при наибольшей степени многочлена \( C(x) \). Обозначим этот коэффициент за \( c_k \), где \( k = n + m \).

\( C(x) = A(x) \cdot B(x) = (a_nx^n + \ldots + a_1x + a_0) \cdot (b_mx^m + \ldots + b_1x + b_0) \)

Для получения \( c_k \) необходимо перемножить наибольший степенной член каждого многочлена \( A(x) \) и \( B(x) \).

\( c_k = a_nb_m x^{n + m} \)

Так как \( a_n \) и \( b_m \) равны 1 или -1, и целые, то их произведение \( a_nb_m \) также будет равно 1 или -1, и целым числом.

Теперь давайте рассмотрим остальные коэффициенты многочлена \( C(x) \):

\( C(x) = (a_n x^n + \ldots + a_1 x + a_0) \cdot (b_m x^m + \ldots + b_1 x + b_0) \)
\( = \ldots + (a_i b_j) x^{i + j} + \ldots \)

Где \( (a_i b_j) \) - это произведение коэффициентов \( a_i \) и \( b_j \) в многочленах \( A(x) \) и \( B(x) \).

Мы знаем, что \( a_i \) и \( b_j \) являются целыми числами, так как это целые коэффициенты хороших многочленов.

Более того, мы также знаем, что их произведение \( (a_i b_j) \) будет целым числом, так как произведение двух целых чисел всегда является целым числом.

Таким образом, все коэффициенты \( C(x) \) являются целыми числами, что делает \( C(x) \) хорошим многочленом.

Мы также можем заметить, что старший коэффициент \( C(x) \) равен произведению старших коэффициентов \( A(x) \) и \( B(x) \). Если старший коэффициент каждого из многочленов равен 1 или -1, то и произведение их старших коэффициентов будет равно 1 или -1.

Таким образом, результатом произведения двух хороших многочленов с целыми коэффициентами также является хороший многочлен.

Я надеюсь, что этот объяснение поможет вам лучше понять доказательство этой задачи! Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их.