Необходимо доказать, что угол ABC больше 120 градусов, если медиана BM треугольника ABC меньше половины его сторон

Сквозь_Пыль

1

Для начала, давайте вспомним, что такое медиана треугольника. Медиана - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

В данной задаче у нас есть треугольник ABC и его медиана BM. Также известно, что медиана BM меньше половины стороны AB. Для доказательства, что угол ABC больше 120 градусов, мы можем использовать теорему о трех медианах.

Теорема о трех медианах: В треугольнике сумма квадратов длин трех медиан равна сумме квадратов длин всех сторон треугольника, умноженной на 3/4.

Давайте разберемся с этой теоремой шаг за шагом. Для начала, применим закон косинусов к треугольнику ABC:

\[AB^2 = BC^2 + AC^2 - 2 \cdot BC \cdot AC \cdot \cos(\angle ABC)\]

Теперь, если мы вспомним, что медиана делит сторону пополам, то получим следующее:

\[BM = \frac{AB}{2}\]
\[2BM = AB\]

Далее упростим выражение для суммы квадратов длин медиан. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора:

\[\begin{align*}
BC^2 + AC^2 &= (2BM)^2 + (2CM)^2 \\
&= 4BM^2 + 4CM^2 \\
&= 4(BM^2 + CM^2)
\end{align*}\]

Теперь заменим выражение для AB в формуле закона косинусов:

\[AB^2 = 4(BM^2 + CM^2) - 2 \cdot 2BM \cdot 2CM \cdot \cos(\angle ABC)\]
\[AB^2 = 4BM^2 + 4CM^2 - 8BM \cdot CM \cdot \cos(\angle ABC)\]

Теперь, учитывая, что BM меньше половины стороны AB, получим:

\[BM < \frac{1}{2}AB\]
\[4BM^2 < AB^2\]

Заменим это выражение в предыдущей формуле:

\[4BM^2 + 4CM^2 - 8BM \cdot CM \cdot \cos(\angle ABC) < AB^2\]
\[4(BM^2 + CM^2) - 8BM \cdot CM \cdot \cos(\angle ABC) < AB^2\]

Теперь, обратим внимание на правую часть неравенства. В полученном неравенстве, правая часть равна \(AB^2\), которая не зависит от угла ABC.

Теперь, чтобы доказать что \(\angle ABC\) больше 120 градусов, нам необходимо доказать, что величина \(4(BM^2 + CM^2) - 8BM \cdot CM \cdot \cos(\angle ABC)\) строго меньше \(AB^2\) для любых значений угла ABC меньше 120 градусов.

Мы доказали, что медиана BM меньше половины стороны AB, поэтому величина \(4(BM^2 + CM^2) - 8BM \cdot CM \cdot \cos(\angle ABC)\) должна быть строго меньше \(AB^2\). Следовательно, угол ABC должен быть больше 120 градусов.

Итак, мы доказали, что угол ABC больше 120 градусов при условии, что медиана BM треугольника ABC меньше половины его сторон AB.