Необходимо доказать, что векторное произведение AB и DB равно нулю, учитывая, что AD и CB параллельны

Anzhela

6

Для доказательства равенства векторных произведений \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{DB}\) нулю, при условии, что векторы \(\overrightarrow{AD}\) и \(\overrightarrow{CB}\) параллельны, воспользуемся свойствами векторного произведения.

Свойство #1: Векторное произведение двух векторов равно нулю, если и только если эти векторы коллинеарны.

Из условия задачи мы знаем, что векторы \(\overrightarrow{AD}\) и \(\overrightarrow{CB}\) параллельны. Параллельные вектора являются коллинеарными, то есть лежат на одной прямой или отрезке прямой. Следовательно, векторы \(\overrightarrow{AD}\) и \(\overrightarrow{CB}\) коллинеарны.

Свойство #2: Векторное произведение коллинеарных векторов равно нулю.

Исходя из свойства #1, мы можем утверждать, что векторы \(\overrightarrow{AD}\) и \(\overrightarrow{CB}\) коллинеарны. Следовательно, векторное произведение \(\overrightarrow{AD} \times \overrightarrow{CB}\) равно нулю.

Теперь рассмотрим векторное произведение \(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{DB}\).

Свойство #3: Векторное произведение антивекторов возвращает вектор, коллинеарный их основанию.

Так как векторное произведение антикоммутативно (то есть \(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{DB} = -(\overrightarrow{DB} \times \overrightarrow{AB})\)), мы можем переписать данное векторное произведение как \(-(\overrightarrow{DB} \times \overrightarrow{AB})\).

Исходя из свойства #2, мы знаем, что \(\overrightarrow{DB}\) коллинеарен \(\overrightarrow{AD}\). Следовательно, векторное произведение \(\overrightarrow{DB} \times \overrightarrow{AB}\) также равно нулю.

Таким образом, мы доказали, что векторное произведение \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{DB}\) равно нулю, при условии параллельности векторов \(\overrightarrow{AD}\) и \(\overrightarrow{CB}\).