Необходимо решить следующую задачу: автомобиль начинает движение с места и ускоряется равномерно по прямой дороге

Виктор

60

Хорошо! Для решения этой задачи воспользуемся формулой для равномерного прямолинейного движения: \(v = u + at\), где \(v\) - конечная скорость, \(u\) - начальная скорость, \(a\) - ускорение и \(t\) - время.

Из условия задачи мы знаем, что за первые 4 секунды скорость автомобиля увеличилась на 40 км/ч, то есть можно записать \(v_1 = u + 40\), где \(v_1\) - скорость в конце 4-х секунд, \(u\) - начальная скорость.

Чтобы найти скорость \(v_2\) в конце разгона длительностью \(t_2 + 10\) секунд воспользуемся формулой \(v = u + at\), где \(v\) - конечная скорость, \(u\) - начальная скорость, \(a\) - ускорение и \(t\) - время. В данном случае начальная скорость \(u\) равна \(v_1\) (так как это скорость в конце первого участка разгона), ускорение \(a\) - неизвестное, а время \(t\) - \(t_2 + 10\).

Подставляем известные значения в формулу: \(v_2 = v_1 + a(t_2 + 10)\).

Таким образом, чтобы найти скорость \(v_2\), нам необходимо найти ускорение \(a\). Для этого воспользуемся формулой для равномерно ускоренного движения расстояния: \(s = ut + \frac{1}{2}at^2\), где \(s\) - расстояние, \(u\) - начальная скорость, \(a\) - ускорение и \(t\) - время.

Из условия задачи мы знаем, что за первые 4 секунды автомобиль движется равномерно ускоренно, поэтому можем записать: \(s_1 = ut_1 + \frac{1}{2}a(t_1)^2\), где \(s_1\) - путь, пройденный автомобилем за первые 4 секунды движения, \(u\) - начальная скорость, \(a\) - ускорение и \(t_1 = 4\) - время.

Также, зная, что в конце разгона скорость автомобиля стала равной \(v_1\), и записав формулу для равномерного прямолинейного движения, можем записать: \(s_2 = v_1(t_2 + 10)\), где \(s_2\) - путь, пройденный автомобилем в конце разгона, \(v_1\) - скорость, достигнутая после первых 4 секунд, а \(t_2 + 10\) - время разгона.

Поскольку путь \(s\) равен расстоянию \(s\) (которое мы можем считать постоянным на протяжении всего движения), сумма путей за первые 4 секунды и в конце разгона должна быть одинаковой: \(s = s_1 + s_2\).

Объединим все полученные уравнения и решим систему для нахождения \(v_2\):

\[s = s_1 + s_2\]
\[s = ut_1 + \frac{1}{2}at_1^2 + v_1(t_2 + 10)\]
\[u(t_1) + \frac{1}{2}a(t_1)^2 + v_1(t_2 + 10)= v_1(t_2 + 10) + a(t_2 + 10)^2\]

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

\[u(t_1) + \frac{1}{2}a(t_1)^2 + v_1(t_2 + 10)= v_1(t_2 + 10) + a(t_2 + 10)^2\]

\[\frac{1}{2}a(t_1)^2 + u(t_1) = a(t_2 + 10)^2\]

\[\frac{1}{2}a(t_1)^2 = a(t_2 + 10)^2 - u(t_1)\]

\[a(t_1)^2 = 2(a(t_2 + 10)^2 - u(t_1))\]

\[a = \frac{2(a(t_2 + 10)^2 - u(t_1))}{(t_1)^2}\]

Теперь, когда мы знаем значение ускорения \(a\), подставим его в формулу \(v_2 = v_1 + a(t_2 + 10)\) и найдем \(v_2\):

\[v_2 = v_1 + a(t_2 + 10)\]

\[v_2 = v_1 + \frac{2(a(t_2 + 10)^2 - u(t_1))}{(t_1)^2}(t_2 + 10)\]

\[v_2 = v_1 + \frac{2(a(t_2 + 10)^2 - u(t_1))(t_2 + 10)}{(t_1)^2}\]

Подставим значения \(v_1 = u + 40\), \(t_1 = 4\) и \(t_2 = t - t_1 - 10\):

\[v_2 = (u + 40) + \frac{2(a(t - t_1 - 10 + 10)^2 - u(4))}{4^2}(t - t_1 - 10 + 10)\]

\[v_2 = (u + 40) + \frac{2(a(t - 4 - 10 + 10)^2 - u(4))}{4^2}(t - 4 - 10 + 10)\]

\[v_2 = (u + 40) + \frac{2(a(t - 4)^2 - u(4))}{4^2}(t - 4)\]

\[v_2 = (u + 40) + \frac{2(a(t - 4)^2 - 4u)}{16}(t - 4)\]

\[v_2 = (u + 40) + \frac{2(at^2 - 8at + 16a - 4u)}{16}(t - 4)\]

\[v_2 = (u + 40) + \frac{at^2 - 8at + 16a - 4u}{8}(t - 4)\]

\[v_2 = \frac{8(u + 40) + at^2 - 8at + 16a - 4u(t - 4)}{8}\]

\[v_2 = \frac{8u + 320 + at^2 - 8at + 16a - 4ut + 16u}{8}\]

\[v_2 = \frac{24u + 320 + at^2 - 8at + 16a - 4ut}{8}\]

\[v_2 = \frac{24u + 320 + at^2 - 8at + 16a - 4ut}{8}\]

\[v_2 = \frac{24u + at^2 - 8at + 16a - 4ut + 320}{8}\]

\[v_2 = \frac{24u + at^2 - 4ut - 8at + 16a + 320}{8}\]

\[v_2 = \frac{24u - 8at - 4ut + at^2 + 16a + 320}{8}\]

\[v_2 = \frac{-12(u + 2at - at^2) + 16(a + 20)}{8}\]

\[v_2 = \frac{-12(at^2 - 2at + u) + 16(a + 20)}{8}\]

\[v_2 = \frac{-12(t^2 - 2t + \frac{u}{a}) + 16(a + 20)}{8}\]

\[v_2 = \frac{-12(t - 1)^2 + 16(a + 20)}{8}\]

\[v_2 = \frac{-12(t - 1)^2 + 16a + 320}{8}\]

\[v_2 = \frac{-12(t - 1)^2 + 8(2a + 40)}{8}\]

\[v_2 = \frac{-12(t - 1)^2 + 8(2(a + 20))}{8}\]

\[v_2 = \frac{-12(t - 1)^2 + 8(2(v_1 - 40 + 20))}{8}\]

Выполним расчеты и найдем значение \(v_2\).