Необходимо создать шатер из полотна в форме прямого кругового конуса с заданной вместимостью 9 2п (м^3). Какие должны

Zvezdnyy_Snayper

18

Шаг 1: Понимание задачи

Перед нами стоит задача создать шатер из полотна в форме прямого кругового конуса. Нам нужно найти такие размеры конуса (высоту и радиус основания), чтобы использовать наименьшее количество полотна.

Шаг 2: Анализ задачи

У нас есть ограничение вместимости шатра, которая равна 9/2π м^3. Наша цель - найти наименьшее количество полотна, то есть минимизировать поверхностную площадь конуса.

Шаг 3: Пошаговое решение

Для нахождения минимальных размеров конуса, воспользуемся следующими формулами:

1) Объем конуса (V) вычисляется по формуле: V = 1/3πr^2h, где r - радиус основания, h - высота конуса.

2) Площадь боковой поверхности конуса (S) вычисляется по формуле: S = πrl, где r - радиус основания, l - образующая конуса.

Так как у нас дано ограничение на объем V, равное 9/2π, можно записать следующее уравнение:

1/3πr^2h = 9/2π

Далее, выразим h через r:

h = (9/2 * 3)/(r^2)

Теперь, найдем площадь боковой поверхности конуса. Для этого нужно выразить l через r и h:

l = sqrt(r^2 + h^2) = sqrt(r^2 + (9/2 * 3)/(r^2))^2

Теперь, выразим S через r:

S = πr * sqrt(r^2 + (9/2 * 3)/(r^2))^2

В конечном итоге, наша задача сводится к нахождению такого радиуса r, при котором S будет минимальной.

Шаг 4: Нахождение размеров конуса

Для нахождения наименьшего количества полотна, необходимо минимизировать поверхностную площадь S. Мы можем сделать это, используя метод дифференциального исчисления и нахождения минимума функции S(r). Однако, в данном случае, нет необходимости привлекать такой сложный метод.

Обратим внимание на уравнение, полученное на Шаге 3:
S = πr * sqrt(r^2 + (9/2 * 3)/(r^2))^2

Заметим, что исключая π из уравнения, мы получим следующее: S = r * sqrt(r^2 + (9/2 * 3)/(r^2))^2

Сократим данные уравнения и найдем производную от S по r:

S = r * sqrt(r^2 + 27/(2r^2))^2
S = r * (r^2 + 27/(2r^2))
S = r^3 + 27/2

dS/dr = 3r^2 - 27/(2r^3)

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

3r^2 - 27/(2r^3) = 0

r^5 = 18
r = ∛(18)

Шаг 5: Ответ

Мы нашли радиус основания конуса r примерно равный 2.6206 и высоту h примерно равную 9/(2r^2) = 0.6694. Итак, чтобы использовать наименьшее количество полотна, размеры конуса должны быть примерно r = 2.6206 и h = 0.6694.