Нужно доказать, что между двумя из 10 прямых имеется угол, который не превышает 18 градусов

Жанна

13

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом от противного. Предположим, что между любыми двумя из 10 прямых угол будет превышать 18 градусов.

Рассмотрим первую прямую. Она может образовать 9 углов с остальными прямыми (поскольку исключается угол с самой собой). Если все эти 9 углов превышают 18 градусов, то сумма углов будет больше, чем \(9 \times 18 = 162\) градуса.

Теперь рассмотрим вторую прямую. Она также может образовать 9 углов с остальными прямыми, которые мы еще не рассматривали. Предположим, что все эти углы превышают 18 градусов. Тогда сумма углов, образованных первой и второй прямыми, будет больше, чем \(162 + 162 = 324\) градуса.

Продолжая этот процесс и рассматривая каждую следующую прямую, мы можем заметить, что сумма углов будет расти с каждым шагом. В конечном итоге, когда мы рассмотрим все 10 прямых, сумма углов будет больше, чем \(162 \times 9 = 1458\) градусов.

Однако, в любом плоском углу сумма всех углов равна 180 градусов. Таким образом, мы приходим к противоречию. Наше предположение о том, что между любыми двумя прямыми угол превышает 18 градусов, оказывается ложным.

Следовательно, мы можем сделать вывод, что среди 10 прямых обязательно найдется угол, который не превышает 18 градусов.